What is the sum of the infinite decreasing geometric progression: 1) 0.4; 0.04; 0.004; 0.0004... 2) 0.17; 0.0017

Для решения данной задачи, мы рассмотрим кажду последовательность отдельно и найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1) Для первой последовательности 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004... мы можем заметить, что каждый следующий член последовательности получается путем умножения предыдущего члена на 0.1.

Поскольку модуль значения множителя меньше 1, мы можем использовать формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1-r}\]

Где \(S\) - сумма прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(r\) - множитель каждого последующего члена прогрессии.

В данном случае, \(a = 0.4\) и \(r = 0.1\). Подставляя значения в формулу, получим:

\[S = \frac{0.4}{1-0.1}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S = \frac{0.4}{0.9} = \frac{4}{9}\]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004... равна \(\frac{4}{9}\).

2) Для второй последовательности 0.17, 0.0017, 0.000017... мы также замечаем, что каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на 0.01.

Применяем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1-r}\]

Где \(a\) равно первому члену прогрессии (0.17), а \(r\) равно множителю (0.01). Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{0.17}{1-0.01}\]

Получаем:

\[S = \frac{0.17}{0.99}\]

Выполняем вычисления:

\[S \approx 0.17 \times \frac{100}{99} \approx 0.1717...\]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0.17, 0.0017, 0.000017... примерно равна 0.1717.

3) Для третьей последовательности 0.054, 0.0054, 0.00054... каждый следующий член получается путем умножения предыдущего на 0.1.

Используем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1-r}\]

В данном случае, \(a = 0.054\) и \(r = 0.1\). Подставляем значения в формулу:

\[S = \frac{0.054}{1-0.1}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S = \frac{0.054}{0.9} = \frac{54}{900} = \frac{3}{50}\]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 0.054, 0.0054, 0.00054... равна \(\frac{3}{50}\).

4) Для последовательности 1/3, 1/6, 1/12, 1/36... можем заметить, что каждый следующий член равен предыдущему, деленному на 2.

Применяем формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

\[S = \frac{a}{1-r}\]

В данном случае, первый член \(a = \frac{1}{3}\), а множитель \(r = \frac{1}{2}\). Подставляем значения в формулу:

\[S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[S = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{3}\]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1/3, 1/6, 1/12, 1/36... равна \(\frac{2}{3}\).

Окончательно, суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий равны:

1) 0.4, 0.04, 0.004, 0.0004...: \(\frac{4}{9}\)

2) 0.17, 0.0017, 0.000017...: примерно 0.1717

3) 0.054, 0.0054, 0.00054...: \(\frac{3}{50}\)

4) 1/3, 1/6, 1/12, 1/36...: \(\frac{2}{3}\)

Надеюсь, это решение было полезным и понятным! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.