What is the specific binding energy of the nuclei of the following elements: 27 13 aluminum, 40 20 calcium

Специфическая связывающая энергия ядра определяется как разница между массой связанных нуклонов в ядре и массой отдельных нуклонов, деленной на количество нуклонов в ядре. Формула для расчета связывающей энергии ядра:

\[E_{\text{сп}} = (M_{\text{ат}} - Z \cdot m_{\text{пр}} - (A - Z) \cdot m_{\text{нейтр}}) \cdot c^2\]

Где:
\(E_{\text{сп}}\) - связывающая энергия (джоуль),
\(M_{\text{ат}}\) - масса атома (кг),
\(Z\) - заряд ядра (количество протонов),
\(m_{\text{пр}}\) - масса протона (кг),
\(A\) - массовое число (количество нуклонов),
\(m_{\text{нейтр}}\) - масса нейтрона (кг),
\(c\) - скорость света (м/с).

Для аллюминия \(^{27}_{13}\text{Al}\) с массовым числом \(A=27\) и зарядом ядра \(Z=13\), необходимо использовать известные массы протона и нейтрона, которые составляют приблизительно:

\[m_{\text{пр}} = 1.6726219 \times 10^{-27} \text{ кг}\]
\[m_{\text{нейтр}} = 1.674927471 \times 10^{-27} \text{ кг}\]

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[
E_{\text{сп}} = (M_{\text{ат}} - Z \cdot m_{\text{пр}} - (A - Z) \cdot m_{\text{нейтр}}) \cdot c^2
= \left ( 27 \cdot 1.66053906660 \times 10^{-27} \text{ кг} - 13 \cdot 1.6726219 \times 10^{-27} \text{ кг} - (27 - 13) \cdot 1.674927471 \times 10^{-27} \text{ кг} \right ) \cdot (2.998 \times 10^8)^2 \text{ м}^2/\text{с}^2
\]

Вычислив эту формулу, получаем \(E_{\text{сп}} \approx 1.762 \times 10^{-12}\) Дж.

Для кальция \(^{40}_{20}\text{Ca}\) с массовым числом \(A=40\) и зарядом ядра \(Z=20\), используем аналогичный расчет для связывающей энергии ядра:

\[
E_{\text{сп}} = \left ( 40 \cdot 1.66053906660 \times 10^{-27} \text{ кг} - 20 \cdot 1.6726219 \times 10^{-27} \text{ кг} - (40 - 20) \cdot 1.674927471 \times 10^{-27} \text{ кг} \right ) \cdot (2.998 \times 10^8)^2 \text{ м}^2/\text{с}^2
\]

Вычислив эту формулу, получаем \(E_{\text{сп}} \approx 3.905 \times 10^{-12}\) Дж.

Таким образом, связывающая энергия ядра алюминия составляет около \(1.762 \times 10^{-12}\) Дж, а связывающая энергия ядра кальция составляет около \(3.905 \times 10^{-12}\) Дж.