What is the smallest height of the triangle and the radii of its inscribed and circumscribed circles if the sides

Для начала решим задачу о нахождении высоты треугольника. Для этого воспользуемся формулой для высоты треугольника:

\[ h = \frac{2A}{a}, \]

где \( h \) - высота треугольника, \( A \) - его площадь, \( a \) - длина основания треугольника.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

\[ A = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}, \]

где \( s \) - полупериметр треугольника, \( a, b, c \) - длины его сторон.

Поскольку у нас уже даны длины сторон треугольника, мы можем найти \( s \) и \( A \). Давайте вычислим:

\[ s = \frac{a + b + c}{2}, \]

\[ s = \frac{11 + 13 + 20}{2} = 22, \]

\[ A = \sqrt{22(22 - 11)(22 - 13)(22 - 20)}, \]

\[ A = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2}, \]

\[ A = \sqrt{22 \cdot 99 \cdot 2}, \]

\[ A = \sqrt{4356}, \]

\[ A \approx 66.01 \, \text{см}^2. \]

Теперь вычислим высоту треугольника:

\[ h = \frac{2A}{a}, \]

\[ h = \frac{2 \cdot 66.01}{11}, \]

\[ h \approx 12 \, \text{см}. \]

Теперь перейдем к нахождению радиусов вписанной и описанной окружностей.

Для нахождения радиуса вписанной окружности, воспользуемся формулой:

\[ r = \frac{A}{s}, \]

где \( r \) - радиус вписанной окружности, \( A \) - площадь треугольника, \( s \) - полупериметр треугольника.

Подставив известные значения, получим:

\[ r = \frac{66.01}{22}, \]

\[ r \approx 3 \, \text{см}. \]

Для нахождения радиуса описанной окружности, воспользуемся формулой:

\[ R = \frac{abc}{4A}, \]

где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a, b, c \) - длины сторон треугольника, \( A \) - площадь треугольника.

Подставив известные значения, получим:

\[ R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 66.01}, \]

\[ R = \frac{2860}{264.04}, \]

\[ R \approx 10.86 \, \text{см}. \]

Таким образом, наименьшая высота треугольника составляет приблизительно 12 см, радиус вписанной окружности - около 3 см, а радиус описанной окружности - около 10.86 см.