What is the line of intersection between perpendicular planes?

What is the line of intersection between perpendicular planes?
ИИ помощник ИИ помощник в учёбе
Dimon

Dimon

Линией пересечения перпендикулярных плоскостей называется прямая, которая одновременно лежит на обеих данных плоскостях. Для того чтобы определить линию пересечения, нужно знать уравнения этих плоскостей.

Пусть у нас есть две перпендикулярные плоскости. Первую плоскость представим уравнением \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), а вторую плоскость - уравнением \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), где \(A\), \(B\), и \(C\) - коэффициенты, определяющие нормальные векторы плоскостей, а \(D_1\) и \(D_2\) - свободные члены уравнений.

Перпендикулярные плоскости имеют перпендикулярные нормальные векторы. В данном случае, векторы \((A, B, C)\) и \((A, B, C)\) являются перпендикулярными.

Чтобы найти линию пересечения, мы можем использовать следующий подход: решить систему уравнений, состоящую из уравнений обеих плоскостей. Зафиксируем \(z\) и найдем соответствующие \(x\) и \(y\) для обеих плоскостей. Это даст нам точки пересечения в каждой плоскости. Так мы получим две точки, и линия пересечения будет проходить через эти точки.

Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания.

Пусть первая плоскость имеет уравнение \(2x+3y-4z+8=0\), а вторая плоскость имеет уравнение \(4x-6y+8z-12=0\). Мы видим, что нормальные векторы \((2, 3, -4)\) и \((4, -6, 8)\) являются перпендикулярными.

Для того чтобы найти линию пересечения, мы решим эту систему уравнений:

\[
\begin{align*}
2x+3y-4z+8&=0 \\
4x-6y+8z-12&=0
\end{align*}
\]

Используя метод Гаусса или другие методы решения систем линейных уравнений, мы получаем \(x = 6\), \(y = 8\), и \(z = 4\). Таким образом, у нас есть одна точка пересечения плоскостей, которая имеет координаты \((6, 8, 4)\).

Теперь давайте зафиксируем значение \(z\) и найдем соответствующие значения \(x\) и \(y\) для каждой плоскости. При \(z = 0\) для первой плоскости имеем \(2x + 3y - 4 \cdot 0 + 8 = 0\), что приводит к \(2x + 3y + 8 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(x = -4 - \frac{3y}{2}\). Аналогично для второй плоскости при \(z = 0\) получаем \(x = 3 + \frac{3y}{2}\).

Таким образом, мы получили две точки линии пересечения, которая проходит через точку \((6, 8, 4)\): \((-4, 0, 0)\) и \((3, -2, 0)\).

В итоге, линией пересечения перпендикулярных плоскостей является прямая, проходящая через точки \((6, 8, 4)\), \((-4, 0, 0)\) и \((3, -2, 0)\).
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello