What is the line of intersection between perpendicular planes?

Линией пересечения перпендикулярных плоскостей называется прямая, которая одновременно лежит на обеих данных плоскостях. Для того чтобы определить линию пересечения, нужно знать уравнения этих плоскостей.

Пусть у нас есть две перпендикулярные плоскости. Первую плоскость представим уравнением \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), а вторую плоскость - уравнением \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), где \(A\), \(B\), и \(C\) - коэффициенты, определяющие нормальные векторы плоскостей, а \(D_1\) и \(D_2\) - свободные члены уравнений.

Перпендикулярные плоскости имеют перпендикулярные нормальные векторы. В данном случае, векторы \((A, B, C)\) и \((A, B, C)\) являются перпендикулярными.

Чтобы найти линию пересечения, мы можем использовать следующий подход: решить систему уравнений, состоящую из уравнений обеих плоскостей. Зафиксируем \(z\) и найдем соответствующие \(x\) и \(y\) для обеих плоскостей. Это даст нам точки пересечения в каждой плоскости. Так мы получим две точки, и линия пересечения будет проходить через эти точки.

Давайте рассмотрим пример для более ясного понимания.

Пусть первая плоскость имеет уравнение \(2x+3y-4z+8=0\), а вторая плоскость имеет уравнение \(4x-6y+8z-12=0\). Мы видим, что нормальные векторы \((2, 3, -4)\) и \((4, -6, 8)\) являются перпендикулярными.

Для того чтобы найти линию пересечения, мы решим эту систему уравнений:

\[
\begin{align*}
2x+3y-4z+8&=0 \\
4x-6y+8z-12&=0
\end{align*}
\]

Используя метод Гаусса или другие методы решения систем линейных уравнений, мы получаем \(x = 6\), \(y = 8\), и \(z = 4\). Таким образом, у нас есть одна точка пересечения плоскостей, которая имеет координаты \((6, 8, 4)\).

Теперь давайте зафиксируем значение \(z\) и найдем соответствующие значения \(x\) и \(y\) для каждой плоскости. При \(z = 0\) для первой плоскости имеем \(2x + 3y - 4 \cdot 0 + 8 = 0\), что приводит к \(2x + 3y + 8 = 0\). Решая это уравнение, получаем \(x = -4 - \frac{3y}{2}\). Аналогично для второй плоскости при \(z = 0\) получаем \(x = 3 + \frac{3y}{2}\).

Таким образом, мы получили две точки линии пересечения, которая проходит через точку \((6, 8, 4)\): \((-4, 0, 0)\) и \((3, -2, 0)\).

В итоге, линией пересечения перпендикулярных плоскостей является прямая, проходящая через точки \((6, 8, 4)\), \((-4, 0, 0)\) и \((3, -2, 0)\).