What is the limit of (x+4/x)^x as x approaches infinity?
Stanislav
Конечно, я могу предложить вам подробное и понятное решение задачи.
Для начала, давайте выразим данное выражение в виде степенной функции:
\((x + \frac{4}{x})^x\)
Раскроем скобки:
\(x^x + x^{x-1} \cdot 4 + \binom{x}{2} \cdot (x^{x-2}) \cdot (\frac{4}{x})^2 + ... + (\frac{4}{x})^x\)
Когда \(x\) стремится к бесконечности, каждый следующий член суммы будет приближаться к нулю. Почему? Давайте поясним:
1. Первый член \(x^x\) будет стремиться к бесконечности, так как \(x\) является частью основания, а основание функции степени растет экспоненциально.
2. Второй член \(x^{x-1} \cdot 4\) будет сходиться к бесконечности, так как в числителе имеем растущий множитель \(x^{x-1}\), а в знаменателе - падающий множитель \(x\), что приведет к неопределенности \(\frac{\infty}{\infty}\). Применяя правило Лопиталя, можно показать, что данный член стремится к бесконечности.
3. Третий член имеет вид \(\binom{x}{2} \cdot (x^{x-2}) \cdot (\frac{4}{x})^2\). Путем аналогичных рассуждений можно установить, что он также стремится к бесконечности при \(x \to \infty\).
Таким образом, каждый последующий член суммы будет сходиться к нулю, и на самом деле в пределе останется только первый член \(x^x\). То есть, предел данной функции при \(x \to \infty\) равен бесконечности.
Для начала, давайте выразим данное выражение в виде степенной функции:
\((x + \frac{4}{x})^x\)
Раскроем скобки:
\(x^x + x^{x-1} \cdot 4 + \binom{x}{2} \cdot (x^{x-2}) \cdot (\frac{4}{x})^2 + ... + (\frac{4}{x})^x\)
Когда \(x\) стремится к бесконечности, каждый следующий член суммы будет приближаться к нулю. Почему? Давайте поясним:
1. Первый член \(x^x\) будет стремиться к бесконечности, так как \(x\) является частью основания, а основание функции степени растет экспоненциально.
2. Второй член \(x^{x-1} \cdot 4\) будет сходиться к бесконечности, так как в числителе имеем растущий множитель \(x^{x-1}\), а в знаменателе - падающий множитель \(x\), что приведет к неопределенности \(\frac{\infty}{\infty}\). Применяя правило Лопиталя, можно показать, что данный член стремится к бесконечности.
3. Третий член имеет вид \(\binom{x}{2} \cdot (x^{x-2}) \cdot (\frac{4}{x})^2\). Путем аналогичных рассуждений можно установить, что он также стремится к бесконечности при \(x \to \infty\).
Таким образом, каждый последующий член суммы будет сходиться к нулю, и на самом деле в пределе останется только первый член \(x^x\). То есть, предел данной функции при \(x \to \infty\) равен бесконечности.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
