What is the limit of (x+4/x)^x as x approaches infinity?

Question

Математика: What is the limit of (x+4/x)^x as x approaches infinity?

Stanislav · Accepted Answer

Конечно, я могу предложить вам подробное и понятное решение задачи.

Для начала, давайте выразим данное выражение в виде степенной функции:

(x + \frac{4}{x})^{x}

Раскроем скобки:

x^{x} + x^{x - 1} \cdot 4 + (\binom{x}{2}) \cdot (x^{x - 2}) \cdot (\frac{4}{x})^{2} + . . . + (\frac{4}{x})^{x}

Когда

x

стремится к бесконечности, каждый следующий член суммы будет приближаться к нулю. Почему? Давайте поясним:

1. Первый член

x^{x}

будет стремиться к бесконечности, так как

x

является частью основания, а основание функции степени растет экспоненциально.

2. Второй член

x^{x - 1} \cdot 4

будет сходиться к бесконечности, так как в числителе имеем растущий множитель

x^{x - 1}

, а в знаменателе - падающий множитель

x

, что приведет к неопределенности

\frac{\infty}{\infty}

. Применяя правило Лопиталя, можно показать, что данный член стремится к бесконечности.

3. Третий член имеет вид

(\binom{x}{2}) \cdot (x^{x - 2}) \cdot (\frac{4}{x})^{2}

. Путем аналогичных рассуждений можно установить, что он также стремится к бесконечности при

x \to \infty

.

Таким образом, каждый последующий член суммы будет сходиться к нулю, и на самом деле в пределе останется только первый член

x^{x}

. То есть, предел данной функции при

x \to \infty

равен бесконечности.