What is the length of AB if CA is 16 cm and CB is 30 cm? Simplify fractions. Find the value of sin∢B and cos∢B

Хорошо! Для того чтобы найти длину отрезка AB, нам нужно использовать теорему косинусов. В данной задаче, у нас есть известные значения сторон треугольника: CA равно 16 см и CB равно 30 см. Давайте приступим к решению.

Согласно теореме косинусов, мы можем использовать следующую формулу:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle C)\]

Для начала, найдем значение косинуса угла B. Мы можем использовать формулу косинусов, чтобы выразить косинус угла B:

\[\cos(\angle B) = \frac{{CA^2 + CB^2 - AB^2}}{{2 \cdot CA \cdot CB}}\]

Теперь подставим значения сторон треугольника:

\[\cos(\angle B) = \frac{{16^2 + 30^2 - AB^2}}{{2 \cdot 16 \cdot 30}}\]

Чтобы найти значение косинуса угла B, нам нужно найти значение \(AB^2\). Давайте продолжим:

\[AB^2 = CA^2 + CB^2 - 2 \cdot CA \cdot CB \cdot \cos(\angle B)\]

Подставим уже известные значения:

\[AB^2 = 16^2 + 30^2 - 2 \cdot 16 \cdot 30 \cdot \cos(\angle B)\]

Теперь нам нужно упростить выражение и найти значение \(AB\).

\[AB^2 = 256 + 900 - 960 \cdot \cos(\angle B)\]

\[AB^2 = 1156 - 960 \cdot \cos(\angle B)\]

Теперь, чтобы найти длину AB, возьмем квадратный корень из \(AB^2\):

\[AB = \sqrt{1156 - 960 \cdot \cos(\angle B)}\]

Теперь посмотрим на правую сторону задачи. Мы должны найти значения sin∢B и cos∢B.

Чтобы найти sin∢B, мы можем воспользоваться формулой синуса:

\[\sin(\angle B) = \frac{{CA}}{{AB}} = \frac{{16}}{{AB}}\]

Теперь найдем значение cos∢B, используя формулу косинуса:

\[\cos(\angle B) = \frac{{CB}}{{AB}} = \frac{{30}}{{AB}}\]

Таким образом, мы получаем:

\[\sin(\angle B) = \frac{{16}}{{AB}}\]

и

\[\cos(\angle B) = \frac{{30}}{{AB}}\]

Таким образом, чтобы решить данную задачу, нам нужно вычислить значение \(AB\), которое мы получим, подставив известные значения в нашу формулу.

Надеюсь, что мое объяснение было достаточно подробным и понятным! Если у вас возникнут какие-либо вопросы или требуется дополнительное объяснение, пожалуйста, сообщите мне.