What is the difference between the maximum and minimum values of the function y=log4(x) on the interval [1/64,1]?

Чтобы найти разницу между максимальным и минимальным значениями функции \(y = \log_4(x)\) на интервале \(\left[\frac{1}{64}, 1\right]\), мы должны:

1. Найти максимальное значение функции на этом интервале.
2. Найти минимальное значение функции на этом интервале.
3. Вычислить разницу между найденными значениями.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1. Нахождение максимального значения функции:
Для этого мы возьмем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки (точки экстремума). Затем мы проверим значения функции в критических точках и на концах интервала, чтобы найти максимальное значение.

Вычислим производную функции:
\[y" = \frac{1}{\ln(4)} \cdot \frac{1}{x}\]

Приравняем \(y"\) к нулю и решим уравнение:
\[\frac{1}{\ln(4)} \cdot \frac{1}{x} = 0\]
Следовательно, значение \(x\) не может быть равно нулю, так как дробь пропорциональна \(\frac{1}{x}\). Обращаясь к условию задачи, мы знаем, что \(x > 0\). Следовательно, уравнение не имеет корней.

Теперь вспомним, что функция \(\log_4(x)\) возрастает с ростом значения \(x\). Кроме того, наш интервал \(\left[\frac{1}{64}, 1\right]\) содержит только положительные значения \(x\). Это означает, что максимальное значение функции будет находиться на его правом конце \(x = 1\).

Вычислим значение функции в точке \(x = 1\):
\[y = \log_4(1) = 0\]

Таким образом, максимальное значение функции на интервале \(\left[\frac{1}{64}, 1\right]\) равно 0.

2. Нахождение минимального значения функции:
Для этого мы также будем искать минимальное значение на концах интервала, так как функция возрастает с ростом значения \(x\).

Вычислим значение функции в левом конце интервала \(x = \frac{1}{64}\):
\[y = \log_4\left(\frac{1}{64}\right) = \log_4\left(\frac{1}{4^3}\right) = \log_4\left(4^{-3}\right) = \log_4\left(\frac{1}{64}\right) = -3\]

Таким образом, минимальное значение функции на интервале \(\left[\frac{1}{64}, 1\right]\) равно -3.

3. Вычисление разницы:
Чтобы найти разницу между максимальным и минимальным значениями, вычтем минимальное значение из максимального:
Разница = 0 - (-3) = 3

Таким образом, разница между максимальным и минимальным значениями функции \(y = \log_4(x)\) на интервале \(\left[\frac{1}{64}, 1\right]\) равна 3.