What is the area of the triangle with sides measuring 5, 7, and 8? Write the answer as the square root of 3s. Find

Для начала, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона. Формула Герона позволяет нам находить площадь треугольника по длинам его сторон \(a\), \(b\), и \(c\).

Шаг 1:
Найдем полупериметр треугольника \(s\), который равен полусумме длин его сторон. В нашем случае, длины сторон равны 5, 7 и 8, поэтому полупериметр будет равен:
\[s = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10\]

Шаг 2:
Применим формулу Герона для нахождения площади \(A\) треугольника:
\[A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\]
где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Подставляя значения \(s = 10\), \(a = 5\), \(b = 7\) и \(c = 8\), получаем:
\[A = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)}\]
\[A = \sqrt{10 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2}\]
\[A = \sqrt{300} = \sqrt{3 \cdot 100} = 10\sqrt{3}\]

Таким образом, площадь треугольника со сторонами 5, 7 и 8 равна \(10\sqrt{3}\).

Далее, нам нужно найти угол между самой длинной и самой короткой сторонами треугольника. Для этого можно использовать закон косинусов. Закон косинусов позволяет нам находить углы треугольника при известных длинах его сторон.

Шаг 3:
Закон косинусов позволяет нам выразить косинус угла между двумя сторонами треугольника через длины трех его сторон \(a\), \(b\) и \(c\):
\[\cos C = \frac{{a^2 + b^2 - c^2}}{{2ab}}\]

В нашем случае, самая длинная сторона треугольника - 8, а самая короткая - 5. Подставляя значения \(a = 8\), \(b = 5\) и \(c = 7\) в формулу, получаем:
\[\cos C = \frac{{8^2 + 5^2 - 7^2}}{{2 \cdot 8 \cdot 5}}\]
\[\cos C = \frac{{64 + 25 - 49}}{{80}}\]
\[\cos C = \frac{{40}}{{80}}\]
\[\cos C = 0.5\]

Таким образом, косинус угла между самой длинной и самой короткой сторонами треугольника равен 0.5.

Наконец, нам нужно найти угол \(C\) между самой длинной и самой короткой сторонами треугольника. Для этого мы можем использовать обратный косинус (арккосинус).

Шаг 4:
Находим обратный косинус от 0.5:
\[C = \cos^{-1}(0.5)\]
\[C \approx 60^\circ\]

Таким образом, угол между самой длинной и самой короткой сторонами треугольника составляет приблизительно 60 градусов.

Все ответы в задаче:
- Площадь треугольника со сторонами 5, 7 и 8 равна \(10\sqrt{3}\.
- Угол между самой длинной и самой короткой сторонами треугольника равен 60 градусов.
- Косинус угла, противолежащего самой длинной стороне, равен 0.5.