What is the area of a rhombus if its perimeter is 40 cm and one of the angles measures 30 degrees?

Чтобы найти площадь ромба по заданным данным, мы можем использовать следующий шаг-за-шагом подход:

1. Найдем длину стороны ромба:
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Так как у ромба все стороны равны, мы можем разделить периметр на 4, чтобы получить длину каждой стороны.

Периметр ромба = 40 см
Длина каждой стороны ромба = \(\frac{{40 \, \text{см}}}{{4}} = 10 \, \text{см}\)

2. Найдем диагонали ромба:
В ромбе, которому один из углов равен 30 градусов, диагонали разделяются на две равные части под углами 30 и 60 градусов соответственно.
Это значит, что диагонали ромба являются основаниями двух равнобедренных треугольников, у которых один из углов равен 30 градусов.

Так как у треугольника один из углов равен 30 градусам, мы можем использовать тригонометрию, а именно функцию синуса (sin), чтобы найти значение высоты треугольника, которая равна половине одной из диагоналей.

Давайте обозначим длину диагонали ромба как D.
Тогда высота равнобедренного треугольника, образованного диагональю, равна \(\frac{{D}}{{2}}\).

Отношение высоты к основанию треугольника равно \(\sin{30^\circ}\). Мы знаем, что \(\sin{30^\circ} = \frac{{1}}{{2}}\).
Следовательно, \(\frac{{\frac{{D}}{{2}}}}{{\text{Длина стороны}}}} = \frac{{1}}{{2}}\).

Подставляя значение длины стороны ромба (10 см), мы можем найти длину одной из диагоналей:
\(\frac{{\frac{{D}}{{2}}}}{{10 \, \text{см}}}} = \frac{{1}}{{2}}\).
\(\frac{{D}}{{2}} = \frac{{10 \, \text{см}}}}{{2}}\) (умножение обеих сторон на 2).
\(\frac{{D}}{{2}} = 5 \, \text{см}\) (упрощение).
\(D = 10 \, \text{см}\) (умножение обеих сторон на 2).

3. Найдем площадь ромба:
Площадь ромба равна произведению длин его диагоналей, деленному на 2.

Мы нашли, что длина одной из диагоналей составляет 10 см.
Другая диагональ будет также равна 10 см, так как оба основания треугольников, образованных диагоналями, равны.

Подставляя значения в формулу площади ромба, получаем:
Площадь ромба = \(\frac{{10 \, \text{см}} \times 10 \, \text{см}}}{2} = \frac{{100 \, \text{см}^2}}{2} = 50 \, \text{см}^2\).

Итак, площадь ромба равна 50 квадратным сантиметрам.