What are the lengths of the diagonals of the parallelogram and its area, if the adjacent sides of the parallelogram

Для начала, давайте обозначим стороны параллелограмма следующим образом:

\(a = 7 \, \text{см}\) - длина одной из сторон,
\(b = 2\sqrt{3} \, \text{см}\) - длина соседней стороны,
\(\alpha = 30^\circ\) - угол между этими сторонами.

Чтобы найти диагонали параллелограмма, мы можем использовать следующие формулы:

1. Длина первой диагонали \(d_1\) может быть найдена с помощью формулы косинусов:
\[d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}.\]

2. Длина второй диагонали \(d_2\) также может быть найдена с помощью формулы косинусов, где мы будем использовать дополнительный угол \(\beta\):
\[d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta)}.\]

Для того чтобы найти \(\beta\), мы можем использовать следующую формулу, основанную на свойствах параллелограмма:
\(\beta = 180^\circ - \alpha\).

Теперь давайте подставим значения и начнем расчеты.

1. Длина первой диагонали:
\[d_1 = \sqrt{{7^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ)}}.\]

Мы можем упростить это выражение:
\[d_1 = \sqrt{{49 + 12 - 14\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}.\]
\[d_1 = \sqrt{{61 - 14 \cdot \frac{3}{2}}}.\]
\[d_1 = \sqrt{{61 - 21}}.\]
\[d_1 = \sqrt{{40}}.\]
\[d_1 = 2\sqrt{10} \, \text{см}.\]

2. Длина второй диагонали:
\(\beta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ.\)
\[d_2 = \sqrt{{7^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)}}.\]

Снова упрощаем:
\[d_2 = \sqrt{{49 + 12 + 14\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{49 + 12 + 14 \cdot \frac{3}{2}}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{73 + 21}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{94}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{2 \cdot 47}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{2}} \cdot \sqrt{{47}}.\]
\[d_2 = \sqrt{{2}} \cdot \sqrt{{47}} \, \text{см}.\]

Теперь, чтобы найти площадь параллелограмма, мы можем использовать следующую формулу:

\[S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha).\]

\[S = 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^\circ).\]
\[S = 7 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}.\]
\[S = 7 \cdot \sqrt{3}.\]

Таким образом, длины диагоналей параллелограмма равны \(2\sqrt{10} \, \text{см}\) и \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{47} \, \text{см}\), а его площадь равна \(7 \cdot \sqrt{3}\).