What are the coordinates of point M if: a) OM = 4; α = 60º. b) OM = 8; α = 150º

Давайте начнем с задания a).

Мы должны найти координаты точки M, зная, что ее расстояние от начала координат (точки O) равно 4, а угол α между положительным направлением оси x и линией, соединяющей O и M, равен 60º.

Для решения этой задачи, мы можем использовать геометрические свойства прямоугольного треугольника. Представим, что точка M находится в квадранте I (правильное место для точек, имеющих положительные координаты x и y).

Так как мы знаем, что расстояние от начала координат до точки M равно 4, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\[d = \sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}}\]

Здесь (x1, y1) - координаты начала координат (точки O), а (x2, y2) - координаты точки M. Так как координаты O равны (0, 0), формула упрощается:

\[d = \sqrt{{x^2 + y^2}}\]

где d равно 4. Мы можем записать это уравнение, чтобы получить:

\[4 = \sqrt{{x^2 + y^2}}\]

Второе условие говорит, что угол α между осью x и линией, соединяющей точку O и точку M, равен 60º. Это означает, что тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета (y) к прилежащему катету (x). Мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[tan(\alpha) = \frac{y}{x}\]

Подставив значение угла α (60º), получим:

\[tan(60º) = \frac{y}{x} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{y}{x}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (x и y), и мы можем решить их, чтобы найти значения этих координат.

Возведем оба уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

\[16 = x^2 + y^2\]
\[3 = \frac{y^2}{x^2}\]

Подставив второе уравнение в первое, получаем:

\[16 = x^2 + 3x^2 \Rightarrow 16 = 4x^2 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2\]

Таким образом, мы получили два возможных значения для x - 2 и -2. Подставим эти значения во второе уравнение:

\[3 = \frac{y^2}{2^2} \Rightarrow 3 = \frac{y^2}{4} \Rightarrow 12 = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\]

Итак, мы получили четыре возможных комбинации координат точки M: (2, 2√3), (-2, 2√3), (2, -2√3), (-2, -2√3).

Теперь перейдем к задаче b).

Соответственно условию, мы знаем, что расстояние от начала координат до точки M равно 8, а угол α между положительным направлением оси x и линией, соединяющей O и M, равен 150º.

Процесс решения этой задачи будет аналогичным предыдущему. Мы можем использовать те же уравнения.

Используя равенство расстояний, получаем уравнение:

\[8 = \sqrt{{x^2 + y^2}}\]

А используя уравнение тангенса, получаем:

\[tan(150º) = \frac{y}{x} \Rightarrow -\sqrt{3} = \frac{y}{x}\]

Далее, возводим оба уравнения в квадрат:

\[64 = x^2 + y^2\]
\[3 = \frac{y^2}{x^2}\]

Подставляем второе уравнение в первое:

\[64 = x^2 + 3x^2 \Rightarrow x^2 = \frac{64}{4} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4\]

Подставляем это значение обратно во второе уравнение:

\[3 = \frac{y^2}{4^2} \Rightarrow 3 = \frac{y^2}{16} \Rightarrow 48 = y^2 \Rightarrow y = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}\]

Таким образом, у нас также получается четыре возможные комбинации координат точки M: (4, 4√3), (-4, 4√3), (4, -4√3), (-4, -4√3).

Вот и все, мы получили все возможные координаты точки M для заданных условий.