Выявляется ли функция (1/x)*cos (1/x) неограниченной при x

Для того чтобы выявить, является ли функция \(\frac{1}{x} \cdot \cos(\frac{1}{x})\) неограниченной при \(x\), мы должны проанализировать ее поведение при приближении \(x\) к некоторым значениям.

Давайте начнем с того, что функция \(\cos(\frac{1}{x})\) определена для всех значений \(x\), кроме \(x = 0\), так как деление на ноль неопределено. Поэтому мы можем сосредоточиться только на значении \(x\) около нуля.

Для этого, давайте произведем анализ в окрестности \(x = 0\).

При \(x = 0\), значение функции \(\frac{1}{x}\) неопределено, так как это деление на ноль. Однако, функция \(\cos(\frac{1}{x})\) будет определена и ограничена в окрестности \(x = 0\).

Давайте рассмотрим значение функции \(\cos(\frac{1}{x})\) при \(x\) близких к нулю.

Когда \(x\) стремится к нулю, значит \(\frac{1}{x}\) стремится к бесконечности или минус бесконечности, так как \(\frac{1}{x}\) увеличивается при приближении \(x\) к нулю справа, а уменьшается при приближении \(x\) к нулю слева.

Теперь давайте рассмотрим поведение функции \(\cos(\frac{1}{x})\) при \(x\) стремящихся к бесконечности или минус бесконечности.

Учитывая определение тригонометрической функции косинус, мы знаем, что значение функции \(\cos(\frac{1}{x})\) будет ограничено в интервале \([-1, 1]\). Это означает, что при \(x\) стремящихся к бесконечности или минус бесконечности, функция \(\cos(\frac{1}{x})\) будет оставаться ограниченной.

Теперь, когда мы объединили информацию о поведении функций \(\frac{1}{x}\) и \(\cos(\frac{1}{x})\), можно сделать вывод, что функция \((\frac{1}{x}) \cdot \cos(\frac{1}{x})\) ограничена при \(x\), не равных нулю. Она может принимать значения в интервале от \(-\infty\) до \(+\infty\), но ограниченна.

Однако, стоит отметить, что в нуле, где функция не определена, она неограниченна. Но мы можем ограничить её окрестность.

Вывод: функция \((\frac{1}{x}) \cdot \cos(\frac{1}{x})\) ограничена при \(x\), не равных нулю, но не определена при \(x = 0\).