Вторая контрольная работа по алгебре для учащихся 9 класса

Комплексное задание №1:

Дана функция \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\).
а) Найдите значение функции при \(x = 2\).
б) Найдите координаты вершины параболы, описываемой данной функцией.
в) Найдите все точки пересечения графика функции с осью абсцисс и осью ординат.

Решение:
а) Для нахождения значения функции при \(x = 2\) нужно подставить \(2\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(2) = 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 = 2 \cdot 4 - 6 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3.\]
Таким образом, \(f(2) = 3\).

б) Координаты вершины параболы можно найти по формуле \(x_v = -\frac{b}{2a}\) и \(y_v = f(x_v)\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного трехчлена.
В нашем случае \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\).
\[x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4},\]
\[y_v = f\left(\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 - 3 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + 1 = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 1 = 1 - \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = 1 - \frac{5}{4} = \frac{-1}{4}.\]
Таким образом, координаты вершины параболы равны \(\left(\frac{3}{4}, \frac{-1}{4}\right)\).

в) Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс (\(Ox\)), необходимо решить уравнение \(f(x) = 0\). Подставим \(0\) вместо \(f(x)\):
\[2x^2 - 3x + 1 = 0.\]
Данное уравнение необходимо решить. Рассмотрим квадратное уравнение общего вида \(ax^2 + bx + c = 0\).
Применяя квадратную формулу \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D = b^2 - 4ac\) - дискриминант, найдем значения корней уравнения \(2x^2 - 3x + 1 = 0\):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1,\]
\[x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4},\]
\[x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1,\]
\[x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}.\]

Таким образом, точки пересечения графика функции с осью абсцисс равны \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Для нахождения точки пересечения графика функции с осью ординат (\(Oy\)) подставим \(0\) вместо \(x\) в функцию \(f(x)\):
\[f(0) = 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1.\]

Таким образом, точка пересечения графика функции с осью ординат равна \((0, 1)\).

Ответ:
а) \(f(2) = 3\);
б) Вершина параболы - \(\left(\frac{3}{4}, \frac{-1}{4}\right)\);
в) Точки пересечения с осью абсцисс - \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\), точка пересечения с осью ординат - \((0, 1)\).