Вписанная в окружность трапеция ABCD с равными основаниями. Основание AD = 15, BC = 5. Окружность с центром

Дано:
Вписанная в окружность трапеция ABCD, где основание AD = 15, BC = 5.
Окружность с центром O и диаметром AD.
Треугольник BOC вписан в окружность с центром в I.

1. Найдем радиус окружности, описанной около трапеции ABCD.
Радиус описанной окружности равен половине длины диагонали трапеции. Поскольку диагонали трапеции ABCD равны по длине (поскольку трапеция ABCD с равными основаниями), то радиус описанной окружности равен половине длины основания AD.
\[ r = \frac{AD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5 \]

2. Найдем радиус вписанной окружности треугольника BOC. Этот радиус равен расстоянию от центра вписанной окружности I до сторон треугольника BOC.
\[ r_1 = r \]

3. Найдем площадь треугольника BOC.
Площадь треугольника можно найти по формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности:
\[ S_{\Delta BOC} = r_1 \cdot P_{\Delta BOC}, \]
где \( P \) - периметр треугольника.
Поскольку треугольник BOC - равнобедренный, найдем длину стороны треугольника:
\[ BC = 5, \]
\[ AB = AD - BC = 15 - 5 = 10. \]
Так как треугольник равнобедренный, то сторона CO равна AO = \(\frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5\).
Теперь найдем периметр треугольника BOC:
\[ P_{\Delta BOC} = BC + 2 \cdot CO = 5 + 2 \cdot 5 = 15. \]
Теперь найдем площадь треугольника BOC:
\[ S_{\Delta BOC} = 7.5 \cdot 15 = 112.5. \]

4. Найдем площадь трапеции ABCD.
Площадь трапеции можно найти, используя формулу площади трапеции через сумму оснований и высоту:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AD + BC) \cdot h, \]
где \( h \) - высота трапеции. Поскольку трапеция ABCD - равнобедренная, то медиана разделяет основания AD и BC пополам.
\[ h = \sqrt{AD^2 - (\frac{AD - BC}{2})^2} = \sqrt{15^2 - (\frac{15 - 5}{2})^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}. \]
Теперь найдем площадь трапеции ABCD:
\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (15 + 5) \cdot 10\sqrt{2} = 10 \cdot 10\sqrt{2} = 100\sqrt{2}. \]

5. Найдем площадь треугольника AID.
Треугольник AID - прямоугольный, так как высота трапеции является перпендикуляром к ее основаниям.
Площадь треугольника AID:
\[ S_{\Delta AID} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10\sqrt{2} = 75\sqrt{2}. \]

6. Найдем отношение площадей треугольников AID и BOC.
\[ \frac{S_{\Delta AID}}{S_{\Delta BOC}} = \frac{75\sqrt{2}}{112.5} = \frac{3\sqrt{2}}{4}. \]

Ответ: Отношение площадей треугольников AID и BOC равно \(\frac{3\sqrt{2}}{4}\).