Возможные варианты занятия первого, второго и третьего места при участии: 1) 5 человек; 2) 6 человек

Для решения этой задачи необходимо использовать перестановки. Чтобы найти количество возможных вариантов занятия первого, второго и третьего места, при участии определенного количества людей, можно использовать формулу для вычисления перестановок.

Перестановка - это упорядоченное размещение элементов множества.

Для нашей задачи, когда количество людей ограничено, нужно использовать формулу для вычисления перестановок с повторениями.

Формула для этой задачи имеет вид:
\(P(n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{{(n_1 + n_2 + ... + n_k)!}}{{n_1! \cdot n_2! \cdot ... \cdot n_k!}}\)

Где:
\(n_1, n_2, ..., n_k\) - количество элементов каждого типа,
\(P(n_1, n_2, ..., n_k)\) - количество перестановок элементов.

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности:

1) Пусть у нас есть 5 человек.
Используем формулу для перестановок с повторениями, где \(n_1 = 5\):
\(P(5) = \frac{{(5 + 0 + 0)!}}{{5! \cdot 0! \cdot 0!}} = \frac{{5!}}{{5!}} = 1\)

Таким образом, при участии 5 человек есть только один возможный вариант занятия первого, второго и третьего места.

2) Теперь рассмотрим случай, когда у нас есть 6 человек.
Используем формулу для перестановок с повторениями, где \(n_1 = 6\):
\(P(6) = \frac{{(6 + 0 + 0)!}}{{6! \cdot 0! \cdot 0!}} = \frac{{6!}}{{6!}} = 1\)

Таким образом, при участии 6 человек также имеется только один возможный вариант занятия первого, второго и третьего места.

В обоих случаях количество возможных вариантов занятия первого, второго и третьего мест ограничено одним, так как нет других участников, которые могли бы занять эти места.