Возможно ли заполнить таблицу размером nxn числами -1, 0, 1 таким образом, чтобы суммы в каждой строке, каждом столбце

Да, возможно заполнить таблицу размером \(n \times n\) числами -1, 0, 1 таким образом, чтобы суммы в каждой строке, каждом столбце и на всех главных диагоналях были уникальными.

Чтобы решить эту задачу, мы должны рассмотреть несколько случаев в зависимости от размера таблицы \(n\).

1. Для \(n = 1\):
Единственная ячейка таблицы будет иметь значение 0.

2. Для \(n = 2\):
В таблице размером 2x2 мы можем заполнить ячейки следующим образом:
\[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{array}
\]
В этом случае каждая строка, каждый столбец и главные диагонали имеют уникальные суммы.

3. Для \(n > 2\):
Можно использовать следующий алгоритм для заполнения таблицы:

a. Заполните главную диагональ единицами (\(1\)):
\[
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & 1 \\
\end{array}
\]

b. Заполните остальные ячейки в каждой строке и каждом столбце значениями -1 и 0 так, чтобы сумма в каждой строке, каждом столбце и диагоналях была уникальной.

- Для всех элементов, находящихся ниже главной диагонали, заполните их значениями -1.
- Для всех элементов, находящихся выше главной диагонали, заполните их значениями 0.

Пример для таблицы размером 3x3:
\[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\]

Таким образом, мы можем продолжать увеличивать размер таблицы \(n\), соблюдая правила заполнения ячеек, и всегда будет существовать уникальная сумма для каждой строки, столбца и главных диагоналей.

Это пошаговое решение должно помочь школьникам понять, как мы можем заполнить таблицу с уникальными суммами.