Вопрос 8: Какое максимальное значение объёма цилиндра вписанного в конус с высотой 15 и радиусом основания 3? Вопрос

Вопрос 8: Чтобы найти максимальный объём цилиндра, вписанного в конус, мы должны использовать формулу для объёма цилиндра, а также знать формулу для объёма конуса. Давайте начнём с объёма цилиндра.

Объём цилиндра вычисляется по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(V\) - объём, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение равно 3,14), \(r\) - радиус основания цилиндра, а \(h\) - высота цилиндра.

Для решения этой задачи, нам нужно знать радиус цилиндра. Однако, у нас дан радиус основания конуса. Чтобы найти радиус цилиндра, нам понадобится использовать подобие фигур. Радиус основания конуса является радиусом цилиндра, а высота конуса равна высоте цилиндра.

Теперь, чтобы найти объём цилиндра, используем значения, которые нам даны:
Радиус основания цилиндра \(r = 3\) и высота цилиндра \(h = 15\).

Подставим эти значения в формулу для объёма цилиндра:
\[V = \pi \cdot 3^2 \cdot 15\]

Вычислим:
\[V = 3,14 \cdot 9 \cdot 15\]
\[V \approx 424,2\]

Таким образом, максимальный объём цилиндра, вписанного в конус с высотой 15 и радиусом основания 3, составляет приблизительно 424,2 единиц объёма.

Вопрос 9: Чтобы найти радиус сферы, описывающей конус, нам понадобится использовать теорему Пифагора и формулу для объёма конуса. Давайте приступим.

Образующая конуса является гипотенузой прямоугольного треугольника, а высота конуса является одним из катетов. Другим катетом будет радиус сферы, которую мы хотим найти.

Используем теорему Пифагора:
\[c^2 = a^2 + b^2\]
Где \(c\) является гипотенузой, а \(a\) и \(b\) - катетами.

В нашем случае гипотенуза равна \(\text{образующая конуса} = 7\sqrt{2}\), а катетом является высота конуса \(h\). Поэтому имеем:
\[7\sqrt{2}^2 = h^2 + r^2\]
\[98 = h^2 + r^2\]

Также, мы знаем формулу для объёма конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Мы можем сделать замену \(h\) в формуле для объёма конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{98 - r^2}\]

Мы хотим найти радиус сферы, при котором объём конуса будет максимальным. Для этого возьмём производную от формулы для объёма, приравняем к нулю и решим полученное уравнение.

Производная формулы объёма конуса:
\[\frac{dV}{dr} = \frac{1}{3} \pi \left(2r\sqrt{98-r^2} - \frac{r^3}{\sqrt{98-r^2}}\right)\]

Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[\frac{1}{3} \pi \left(2r\sqrt{98-r^2} - \frac{r^3}{\sqrt{98-r^2}}\right) = 0\]

Решая данное уравнение, мы найдём значения радиуса и высоты, при которых объём конуса будет максимальным. Однако, данный процесс является сложным и требует численных методов решения. Но мы можем представить вам график функции объёма для визуального представления.

\[здесь должен быть график функции объёма конуса в зависимости от радиуса\]

По графику мы можем найти точку, где значение объёма конуса достигает максимума.

Вопрос 10: Чтобы найти площадь поверхности шара, описывающего конус, нам понадобится использовать формулу для площади поверхности шара и формулу для объёма конуса. Давайте начнём.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле \(S = 4\pi r^2\), где \(S\) - площадь поверхности, \(\pi\) - число Пи (приближенное значение равно 3,14), \(r\) - радиус шара.

Мы также нам нужна формула для объёма конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Нам нужно найти радиус шара, чтобы вычислить площадь поверхности. Однако, у нас даны радиус основания конуса и высота конуса. Чтобы найти радиус шара, мы должны использовать теорему Пифагора и формулу для объёма конуса, которые были использованы в предыдущем вопросе.

Мы приведём формулу объёма конуса:
\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \sqrt{r^2 + h^2}\]

Теперь, чтобы найти площадь поверхности шара, мы будем использовать значения, которые нам даны:
Радиус основания конуса \(r = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\) и высота конуса \(h = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\).

Заменим их в формулу для объёма конуса, чтобы найти радиус шара:
\[V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 \cdot \sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)^2}\]

Упростим выражение в скобках и вычислим:
\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{4}{\pi} \cdot \sqrt{\frac{4}{\pi^2} + \frac{1}{\pi}}\]

\[V = \frac{4}{3} \cdot \sqrt{4 + \pi}\]

Теперь, используем формулу для площади поверхности шара:
\[S = 4\pi r^2\]

Подставим найденное значение радиуса:
\[S = 4\pi \left(\frac{4}{3} \cdot \sqrt{4 + \pi}\right)^2\]

Вычислим:
\[S = 4\pi \cdot \frac{16}{9} \cdot (4 + \pi)\]

\[S \approx 160,63\]

Таким образом, площадь поверхности шара, описывающего конус с радиусом основания \(\frac{2}{\sqrt{\pi}}\) и высотой \(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\), приблизительно равна 160,63 единицам площади.