Вопрос 1: Какова большая полуось орбиты кометы Галлея, у которой эксцентриситет составляет 0,967 и период обращения

Вопрос 1: Какова большая полуось орбиты кометы Галлея, у которой эксцентриситет составляет 0,967 и период обращения составляет 76 лет?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой закона Гравитации Кеплера:

\[
T^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M + m)}
\]

где \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса главного тела (в данном случае - Солнце), \(m\) - масса орбитирующего тела (комета).

Нам дано значение периода обращения \(T = 76\) лет. Мы также знаем, что эксцентриситет орбиты составляет 0,967, что говорит нам о том, что орбита является эллиптической.

Для начала, найдем гравитационную постоянную \(G\). Величина гравитационной постоянной составляет \(6,67 \times 10^{-11}\) \(м^3/(кг \cdot с^2)\).

Далее, нам нужно узнать массу главного тела (\(M\)). Масса Солнца составляет около \(1,989 \times 10^{30}\) кг.

Теперь, мы можем подставить известные значения в формулу, чтобы найти большую полуось (\(a\)):

\[
76^2 = \frac{4\pi^2a^3}{6,67 \times 10^{-11} \cdot (1,989 \times 10^{30} + m)}
\]

Мы замечаем, что масса кометы (\(m\)) неизвестна, но она относительно малая по сравнению с массой Солнца, поэтому мы можем пренебречь ею:

\[
76^2 = \frac{4\pi^2a^3}{6,67 \times 10^{-11} \cdot (1,989 \times 10^{30})}
\]

Упрощая уравнение, мы получаем:

\[
a^3 = \frac{76^2 \cdot 6,67 \times 10^{-11} \cdot (1,989 \times 10^{30})}{4\pi^2}
\]

Вычисляем числовое значение выражения в правой части уравнения и извлекаем кубический корень, чтобы найти значение большой полуоси (\(a\)) в метрах. Поскольку нам нужны ответы до десятых, округляем полученное значение до ближайшего десятого.

Ответ: Большая полуось орбиты кометы Галлея составляет примерно X метров (округлить до десятых).

Вопрос 2: Какое среднее расстояние между Юпитером и Солнцем, если период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет 12 лет? Варианты ответов: 5 а.е., 4 а.е., 6 а.е., 7 а.е.

Для решения этой задачи воспользуемся вторым законом Кеплера, который говорит нам о том, что квадрат периода обращения планеты пропорционален третьей степени большой полуоси ее орбиты.

\[
T^2 = k \cdot a^3
\]

где \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(k\) - постоянная пропорциональности.

Мы знаем, что период обращения Юпитера \(T = 12\) лет. Расстояние между Юпитером и Солнцем (\(a\)) нам неизвестно.

Так как нам нужно найти среднее расстояние в астрономических единицах (а.е.), то будем использовать кубические астрономические единицы.

Закон Кеплера можно переписать в следующем виде:

\[
\frac{T^2}{k} = a^3
\]

Мы не знаем значение постоянной \(k\), но мы можем относительно других планет использовать ее для нахождения величины среднего расстояния между Юпитером и Солнцем.

Например, для Земли \(T = 1\) год, а расстояние составляет 1 а.е. Таким образом, для Земли мы можем записать:

\[
\frac{T_{\text{Земли}}^2}{k} = a_{\text{Земли}}^3
\]

Для Юпитера:

\[
\frac{T_{\text{Юпитера}}^2}{k} = a_{\text{Юпитера}}^3
\]

Разделим два уравнения:

\[
\frac{\frac{T_{\text{Юпитера}}^2}{k}}{\frac{T_{\text{Земли}}^2}{k}} = \frac{a_{\text{Юпитера}}^3}{a_{\text{Земли}}^3}
\]

Так как постоянная \(k\) сокращается, получим:

\[
\left(\frac{T_{\text{Юпитера}}}{T_{\text{Земли}}}\right)^2 = \frac{a_{\text{Юпитера}}^3}{a_{\text{Земли}}^3}
\]

Из этого равенства можно получить значение среднего расстояния между Юпитером и Солнцем (\(a_{\text{Юпитера}}\)) в а.е.

\[
a_{\text{Юпитера}} = \left(\frac{T_{\text{Юпитера}}}{T_{\text{Земли}}}\right)^{2/3} \cdot a_{\text{Земли}}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
a_{\text{Юпитера}} = \left(\frac{12}{1}\right)^{2/3} \cdot 1
\]

Сокращаем и вычисляем выражение в скобках:

\[
a_{\text{Юпитера}} = 12^{2/3}
\]

Округлим значение до ближайшего целого:

\[
a_{\text{Юпитера}} \approx 5
\]

Ответ: Среднее расстояние между Юпитером и Солнцем составляет около 5 а.е.

Вопрос 3: Как называется самая удаленная от Солнца точка?

Самая удаленная точка от Солнца на орбите планеты называется апоцентр.

Вопрос 4: Сопоставьте формулировки законов Кеплера с соответствующими законами.

Закон Кеплера I: "Орбиты всех планет являются эллиптическими, а Солнце находится в одном из фокусов каждой орбиты."

Закон Кеплера II: "Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади."

Закон Кеплера III: "Квадрат периода обращения планеты пропорционален третьей степени большой полуоси ее орбиты."

Сопоставление:
1) Закон Кеплера I - Орбиты всех планет являются эллиптическими, а Солнце находится в одном из фокусов каждой орбиты.
2) Закон Кеплера II - Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает равновеликие площади.
3) Закон Кеплера III - Квадрат периода обращения планеты пропорционален третьей степени большой полуоси ее орбиты.

Сопоставление законов Кеплера с соответствующими формулировками позволяет более полно понять эти законы и их значения в астрономии.