Во сколько раз увеличится площадь квадрата при увеличении его стороны в 17−−√ раз?

Для решения данной задачи, первым делом нам необходимо выразить зависимость площади квадрата от длины его стороны.

Пусть сторона квадрата равна \(x\) единицам. Тогда его площадь \(S\) можно найти, возведя длину стороны во вторую степень:
\[S = x^2\]

Теперь, когда у нас есть уравнение, описывающее зависимость площади квадрата от длины его стороны, мы можем приступить к решению задачи.

Дано, что сторона квадрата увеличилась в \(17 - \sqrt{2}\) раза. Это означает, что новая длина стороны квадрата равна исходной стороне, умноженной на \(17 - \sqrt{2}\). Обозначим новую сторону квадрата как \(x"\):
\[x" = x \cdot (17 - \sqrt{2})\]

Следовательно, новая площадь \(S"\) квадрата равна:
\[S" = (x")^2 = (x \cdot (17 - \sqrt{2}))^2\]

Теперь проведем простые алгебраические преобразования, чтобы упростить данное уравнение:
\[S" = x^2 \cdot (17 - \sqrt{2})^2\]
\[S" = x^2 \cdot (17 - \sqrt{2})(17 - \sqrt{2})\]
\[S" = x^2 \cdot (17^2 - 2 \cdot 17 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot 17 \cdot \sqrt{2} + 2)\]
\[S" = x^2 \cdot (289 - 34\sqrt{2} - 34\sqrt{2} + 2)\]
\[S" = x^2 \cdot (291 - 68\sqrt{2})\]

Таким образом, мы получили новую площадь \(S"\) в зависимости от длины стороны \(x\) и коэффициента \(17 - \sqrt{2}\), который определяет масштаб увеличения.

Для ответа на вопрос задачи, необходимо вычислить отношение новой площади квадрата к исходной площади. Для этого разделим полученное выражение для \(S"\) на исходное выражение для \(S\):
\[\frac{S"}{S} = \frac{x^2 \cdot (291 - 68\sqrt{2})}{x^2}\]

Заметим, что \(x^2\) сокращается в числителе и знаменателе, и остается только выражение:
\[\frac{S"}{S} = 291 - 68\sqrt{2}\]

Итак, площадь квадрата увеличится в \(291 - 68\sqrt{2}\) раз при увеличении его стороны в \(17 - \sqrt{2}\) раза.