Во сколько раз следует изменить индуктивность катушки, чтобы частота колебаний в колебательном контуре оставалась неизменной, при уменьшении электроемкости конденсатора в 2 раза?
Жираф
Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте вспомним формулу, определяющую частоту колебаний в колебательном контуре:
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]
где \(f\) - частота колебаний, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - электроемкость конденсатора.
Мы хотим, чтобы частота колебаний оставалась неизменной, но электроемкость конденсатора уменьшилась в 2 раза. Пусть \(C_1\) - начальная электроемкость, \(C_2\) - новая электроемкость. Тогда у нас есть соотношение:
\[C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\]
Мы хотим найти, во сколько раз нужно изменить индуктивность катушки, чтобы частота осталась неизменной. Обозначим это изменение как \(k\). Тогда мы можем записать:
\[L_2 = kL_1\]
где \(L_1\) - начальная индуктивность, \(L_2\) - новая индуктивность.
Подставим наши значения в формулу для частоты и сделаем необходимые алгебраические преобразования, чтобы найти значение \(k\):
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}\]
Подставляем значения \(C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\) и \(L_2 = kL_1\):
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{kL_1 \cdot \left(\dfrac{1}{2} C_1\right)}}\]
Сокращаем и преобразуем под корнем:
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{kL_1C_1}{2}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}}\]
Сравниваем полученное выражение с исходной формулой для частоты и видим, что выражения должны быть равными. То есть:
\[\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}\]
Упрощаем выражение, сокращаем:
\[\sqrt{\dfrac{k}{2}} = 1\]
Избавляемся от корня:
\[\dfrac{k}{2} = 1\]
Решаем уравнение относительно \(k\):
\[k = 2\]
Таким образом, чтобы частота колебаний в колебательном контуре оставалась неизменной при уменьшении электроемкости конденсатора в 2 раза, необходимо увеличить индуктивность катушки в 2 раза.
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]
где \(f\) - частота колебаний, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - электроемкость конденсатора.
Мы хотим, чтобы частота колебаний оставалась неизменной, но электроемкость конденсатора уменьшилась в 2 раза. Пусть \(C_1\) - начальная электроемкость, \(C_2\) - новая электроемкость. Тогда у нас есть соотношение:
\[C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\]
Мы хотим найти, во сколько раз нужно изменить индуктивность катушки, чтобы частота осталась неизменной. Обозначим это изменение как \(k\). Тогда мы можем записать:
\[L_2 = kL_1\]
где \(L_1\) - начальная индуктивность, \(L_2\) - новая индуктивность.
Подставим наши значения в формулу для частоты и сделаем необходимые алгебраические преобразования, чтобы найти значение \(k\):
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}\]
Подставляем значения \(C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\) и \(L_2 = kL_1\):
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{kL_1 \cdot \left(\dfrac{1}{2} C_1\right)}}\]
Сокращаем и преобразуем под корнем:
\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{kL_1C_1}{2}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}}\]
Сравниваем полученное выражение с исходной формулой для частоты и видим, что выражения должны быть равными. То есть:
\[\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}\]
Упрощаем выражение, сокращаем:
\[\sqrt{\dfrac{k}{2}} = 1\]
Избавляемся от корня:
\[\dfrac{k}{2} = 1\]
Решаем уравнение относительно \(k\):
\[k = 2\]
Таким образом, чтобы частота колебаний в колебательном контуре оставалась неизменной при уменьшении электроемкости конденсатора в 2 раза, необходимо увеличить индуктивность катушки в 2 раза.
Знаешь ответ?