Во сколько раз следует изменить индуктивность катушки, чтобы частота колебаний в колебательном контуре оставалась

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте вспомним формулу, определяющую частоту колебаний в колебательном контуре:

\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота колебаний, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - электроемкость конденсатора.

Мы хотим, чтобы частота колебаний оставалась неизменной, но электроемкость конденсатора уменьшилась в 2 раза. Пусть \(C_1\) - начальная электроемкость, \(C_2\) - новая электроемкость. Тогда у нас есть соотношение:

\[C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\]

Мы хотим найти, во сколько раз нужно изменить индуктивность катушки, чтобы частота осталась неизменной. Обозначим это изменение как \(k\). Тогда мы можем записать:

\[L_2 = kL_1\]

где \(L_1\) - начальная индуктивность, \(L_2\) - новая индуктивность.

Подставим наши значения в формулу для частоты и сделаем необходимые алгебраические преобразования, чтобы найти значение \(k\):

\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_2C_2}}\]

Подставляем значения \(C_2 = \dfrac{1}{2} C_1\) и \(L_2 = kL_1\):

\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{kL_1 \cdot \left(\dfrac{1}{2} C_1\right)}}\]

Сокращаем и преобразуем под корнем:

\[f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{kL_1C_1}{2}}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}}\]

Сравниваем полученное выражение с исходной формулой для частоты и видим, что выражения должны быть равными. То есть:

\[\dfrac{1}{2\pi\sqrt{\dfrac{k}{2}\cdot L_1 \cdot C_1}} = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{L_1C_1}}\]

Упрощаем выражение, сокращаем:

\[\sqrt{\dfrac{k}{2}} = 1\]

Избавляемся от корня:

\[\dfrac{k}{2} = 1\]

Решаем уравнение относительно \(k\):

\[k = 2\]

Таким образом, чтобы частота колебаний в колебательном контуре оставалась неизменной при уменьшении электроемкости конденсатора в 2 раза, необходимо увеличить индуктивность катушки в 2 раза.