Во сколько раз работа газа при изотермическом расширении больше работы, совершаемой над газом при изотермическом

Чтобы понять, во сколько раз работа газа при изотермическом расширении больше работы, совершаемой над газом при изотермическом сжатии, мы можем использовать формулы, связанные с работой газа в изотермическом процессе и коэффициентом полезного действия цикла Карно.

Работа газа в изотермическом процессе может быть выражена следующей формулой:

\[W = nRT \cdot \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\]

где:
\(W\) - работа газа,
\(n\) - количество вещества газа (в молях),
\(R\) - универсальная газовая постоянная (примерное значение: \(8.314 \, \text{Дж/моль} \cdot \text{К}\)),
\(T\) - температура газа (в Кельвинах),
\(V_f\) - конечный объем газа,
\(V_i\) - начальный объем газа.

Коэффициент полезного действия цикла Карно (η) определяется как отношение работы, совершаемой газом при изотермическом расширении к работе, совершаемой газом при изотермическом сжатии:

\[\eta = \frac{W_{\text{расширение}}}{W_{\text{сжатие}}}\]

Из условия задачи известно, что коэффициент полезного действия цикла Карно составляет 60% или 0,6:

\[\eta = 0,6\]

Давайте обозначим работу газа при изотермическом расширении как \(W_{\text{расширение}}\) и работу газа при изотермическом сжатии как \(W_{\text{сжатие}}\).

Мы можем использовать формулу для коэффициента полезного действия цикла Карно для определения отношения работ:

\[\frac{W_{\text{расширение}}}{W_{\text{сжатие}}} = 0,6\]

Теперь давайте найдем работу газа при изотермическом расширении и при изотермическом сжатии по формулам выше.

Предположим, что у нас есть изотермический процесс с начальным объемом газа \(V_i\) и конечным объемом газа \(V_f\), при котором коэффициент полезного действия цикла Карно составляет 0,6.

\[W_{\text{расширение}} = nRT \cdot \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\]
\[W_{\text{сжатие}} = nRT \cdot \ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right)\]

Теперь мы можем использовать отношение работ, чтобы найти ответ на задачу:

\[\frac{W_{\text{расширение}}}{W_{\text{сжатие}}} = \frac{nRT \cdot \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}{nRT \cdot \ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right)} = \frac{\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}{\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right)}\]

Обратите внимание, что \(n\), \(R\) и \(T\) являются константами, которые сокращаются при делении.

Теперь давайте применим свойства натурального логарифма:

\[\frac{\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)}{\ln\left(\frac{V_i}{V_f}\right)} = \frac{\ln(V_f) - \ln(V_i)}{\ln(V_i) - \ln(V_f)} = -\frac{\ln(V_i) - \ln(V_f)}{\ln(V_f) - \ln(V_i)} = -1\]

Таким образом, ответ на задачу составляет -1. Это означает, что работа газа при изотермическом расширении в \(1\) раз меньше работы, совершаемой над газом при изотермическом сжатии.