Во сколько раз изменяется площадь боковой поверхности цилиндра при увеличении радиуса R в 3 раза и высоты H в 6 раз?

Для решения этой задачи мы должны знать формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Формула для площади боковой поверхности цилиндра состоит из умножения периметра основания на высоту цилиндра.

Периметр основания цилиндра вычисляется как \( P = 2\pi R \), где \( R \) - радиус основания цилиндра.

Таким образом, формула для площади боковой поверхности цилиндра будет выглядеть как:

\[ S = P \cdot H = 2\pi R \cdot H \]

Теперь, когда у нас есть формула, мы можем рассчитать площадь боковой поверхности цилиндра до и после изменения радиуса и высоты.

Для начала вычислим площадь боковой поверхности цилиндра до изменения радиуса и высоты.

Пусть \( S_1 \) - это площадь боковой поверхности до изменения, \( R_1 \) - радиус до изменения, а \( H_1 \) - высота до изменения.

Тогда

\[ S_1 = 2\pi R_1 \cdot H_1 \]

Теперь найдем площадь боковой поверхности после изменения радиуса и высоты.

Пусть \( S_2 \) - это площадь боковой поверхности после изменения, \( R_2 \) - радиус после изменения, а \( H_2 \) - высота после изменения.

Условие задачи говорит, что радиус увеличивается в 3 раза, поэтому \( R_2 = 3R_1 \).

Также условие задачи говорит, что высота увеличивается в 6 раз, поэтому \( H_2 = 6H_1 \).

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности после изменения:

\[ S_2 = 2\pi R_2 \cdot H_2 = 2\pi (3R_1) \cdot (6H_1) \]

Для того, чтобы определить во сколько раз площадь боковой поверхности изменилась, нам нужно найти отношение площади после изменения к площади до изменения:

\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{2\pi (3R_1) \cdot (6H_1)}{2\pi R_1 \cdot H_1} \]

Сокращая общие множители:

\[ \frac{S_2}{S_1} = \frac{3 \cdot 6}{1} \]

Упрощаем:

\[ \frac{S_2}{S_1} = 18 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра увеличивается в 18 раз при увеличении радиуса в 3 раза и высоты в 6 раз.