Вершины куба были снабжены Всеволодом числами единица или минус единица. Затем Ярослав вычислил произведение чисел

Чтобы решить эту задачу, давайте пошагово рассмотрим процедуру, описанную в условии.

У нас есть куб с вершинами, на которых стоят числа 1 или -1. Обозначим вершины куба как \(A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6, A_7, A_8\).

Затем Ярослав вычисляет произведение чисел на каждой грани, то есть на гранях \(A_1A_2A_3A_4\), \(A_5A_6A_7A_8\), \(A_1A_2A_5A_6\), \(A_3A_4A_7A_8\), \(A_1A_3A_5A_7\), \(A_2A_4A_6A_8\).

Давайте выразим сумму восьми чисел, расставленных Всеволодом, и шести чисел, вычисленных Ярославом, в виде алгебраического уравнения.

Сумма восьми чисел расставленных Всеволодом - это сумма всех вершин куба: \(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8\).

Сумма шести чисел, вычисленных Ярославом - это сумма всех произведений чисел на гранях: \(A_1A_2A_3A_4 + A_5A_6A_7A_8 + A_1A_2A_5A_6 + A_3A_4A_7A_8 + A_1A_3A_5A_7 + A_2A_4A_6A_8\).

Теперь нам нужно выяснить, может ли возникнуть ситуация, когда сумма восьми чисел, расставленных Всеволодом, и сумма шести чисел, вычисленных Ярославом, равна нулю.

Предположим, что такая ситуация возможна, то есть:
\[A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8 + A_1A_2A_3A_4 + A_5A_6A_7A_8 + A_1A_2A_5A_6 + A_3A_4A_7A_8 + A_1A_3A_5A_7 + A_2A_4A_6A_8 = 0.\]

Но у нас есть ограничение, что каждая вершина куба может быть или 1, или -1. Таким образом, каждое слагаемое является целым числом и может иметь только одно из значений -1, 0 или 1.

Однако, если мы рассмотрим сумму \(A_1 + A_2 + A_3 + A_4 + A_5 + A_6 + A_7 + A_8\), у нас будут как минимум две вершины куба, которые будут иметь одинаковое значение (1 или -1). Это означает, что сумма вершин куба не может равняться нулю.

Таким образом, нет такого набора чисел на вершинах куба, который привел бы к ситуации, когда сумма восьми чисел, расставленных Всеволодом, и сумма шести чисел, вычисленных Ярославом, равна нулю.