Вариант I 1. Какова длина ограничивающей окружности, если площадь круга равна S? 2. Чему равна длина дуги окружности

1. Длина ограничивающей окружности может быть найдена с использованием формулы \(C = 2\pi r\), где \(C\) - длина окружности, а \(r\) - радиус. Так как дана площадь круга \(S\), мы можем использовать формулу площади круга \(S = \pi r^2\) для нахождения радиуса. Решим эту формулу относительно \(r\):

\[
r = \sqrt{\frac{S}{\pi}}
\]

Подставим это значение радиуса в формулу для длины окружности:

\[
C = 2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}}
\]

Таким образом, длина ограничивающей окружности равна \(2\pi \sqrt{\frac{S}{\pi}}\).


2. Длина дуги окружности может быть найдена с использованием формулы \(L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r\), где \(L\) - длина дуги, \(\theta\) - градусная мера дуги, а \(r\) - радиус. В данном случае, радиус равен 9 м, а градусная мера дуги равна 120°, подставим эти значения в формулу:

\[
L = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 9
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
L = \frac{2}{3} \cdot 2\pi \cdot 9 = \frac{4}{3} \pi \cdot 9 = 12\pi
\]

Таким образом, длина дуги окружности равна \(12\pi\) метров.


3. Чтобы найти градусную меру дуги, зная её длину, используем формулу \(L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r\), где \(L\) - длина дуги, \(\theta\) - градусная мера дуги, а \(r\) - радиус. В данном случае, длина дуги равна \(3\pi\), а радиус равен 8, подставим эти значения в формулу:

\[
3\pi = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi \cdot 8
\]

Далее, решим это уравнение относительно \(\theta\):

\[
\frac{\theta}{360} \cdot 2\pi \cdot 8 = 3\pi
\]

Упростим:

\[
\frac{\theta}{360} \cdot 16\pi = 3\pi
\]

Сократим \(\pi\):

\[
\frac{\theta}{360} \cdot 16 = 3
\]

Умножим обе части выражения на \(\frac{360}{16}\):

\[
\theta = \frac{3 \cdot 360}{16}
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
\theta = \frac{1080}{16} = 67.5
\]

Таким образом, градусная мера данной дуги составляет 67.5°.


4. Площадь кольца может быть найдена как разность площадей двух окружностей радиусами \(R_1\) и \(R_2\). Используем формулу площади круга \(S = \pi r^2\) для нахождения площадей двух окружностей:

\[
S_{\text{кольца}} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2
\]

Подставим заданные значения радиусов 13 см и 12 см в эту формулу:

\[
S_{\text{кольца}} = \pi (13^2) - \pi (12^2)
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
S_{\text{кольца}} = 169\pi - 144\pi = 25\pi
\]

Таким образом, площадь данного кольца равна \(25\pi\) см².


5. Площадь сектора может быть найдена с использованием формулы \(S = \frac{\theta}{360} \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - градусная мера центрального угла, а \(r\) - радиус. В данном случае, градусная мера центрального угла равна 45°, а радиус равен 4 см, подставим эти значения в формулу:

\[
S = \frac{45}{360} \pi (4^2)
\]

Упростим:

\[
S = \frac{1}{8} \pi \cdot 16
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
S = 2\pi
\]

Таким образом, площадь данного сектора равна \(2\pi\) см².


6. Чтобы найти радиус сектора, зная его площадь и градусную меру центрального угла, используем формулу \(S = \frac{\theta}{360} \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(\theta\) - градусная мера центрального угла, а \(r\) - радиус. В данном случае, площадь сектора равна \(18\pi\) м², а градусная мера центрального угла равна 40°, подставим эти значения в формулу:

\[
18\pi = \frac{40}{360} \pi r^2
\]

Упростим:

\[
18 = \frac{1}{9} r^2
\]

Умножим обе стороны уравнения на 9:

\[
162 = r^2
\]

Найдем корень из обеих сторон:

\[
r = \sqrt{162}
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
r \approx 12.73
\]

Таким образом, радиус данного сектора около 12.73.