Вариант 9: 1. Каковы третья сторона и другие углы треугольника, если две его стороны равны 12 см и 5 корень

Перейдем непосредственно к решению поставленных задач:

1. Чтобы найти третью сторону треугольника, а также другие углы, мы можем использовать теорему косинусов. Для начала определим третью сторону треугольника.

Пусть третья сторона треугольника равна \( c \) см. Используя теорему косинусов, мы можем записать уравнение следующего вида:

\[ c^2 = 12^2 + (5\sqrt{32})^2 - 2 \cdot 12 \cdot 5\sqrt{32} \cdot \cos(135^\circ) \]

Давайте вычислим это уравнение:

\[
c^2 = 144 + 800 - 120\sqrt{128} \cdot \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\]

Сокращаем выражение:

\[
c^2 = 944 + 120\sqrt{128} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

\[
c^2 = 944 + 60\sqrt{256} = 944 + 60 \cdot 16 = 944 + 960 = 1904
\]

Извлекая квадратный корень получаем:

\[
c = \sqrt{1904} = 4\sqrt{119}
\]

Таким образом, третья сторона треугольника равна \( 4\sqrt{119} \) см.

Теперь найдем другие углы треугольника. Мы можем воспользоваться теоремой синусов для этого. Найдем угол, противолежащий стороне \( 12 \) см.

\[
\sin(A) = \frac{a}{c} = \frac{12}{4\sqrt{119}}
\]

Вычислим значение синуса:

\[
\sin(A) = \frac{12}{4\sqrt{119}} = \frac{3}{\sqrt{119}} = \frac{3\sqrt{119}}{119}
\]

Найдем синус обратного угла:

\[
\sin^{-1}\left(\frac{3\sqrt{119}}{119}\right) \approx 16.57^\circ
\]

Таким образом, угол, противолежащий стороне \( 12 \) см, составляет примерно \( 16.57^\circ \).

Другой угол треугольника можно найти, вычитая из суммы углов треугольника \( 180^\circ \) найденные углы:

\[
180^\circ - 135^\circ - 16.57^\circ = 28.43^\circ
\]

Таким образом, в данном треугольнике другой угол равен примерно \( 28.43^\circ \).

2. В данной задаче мы также можем использовать теорему косинусов. Пусть третья сторона треугольника равна \( c \) см. Тогда мы можем записать уравнение по теореме косинусов следующим образом:

\[ c^2 = 19^2 + 20^2 - 2 \cdot 19 \cdot 20 \cdot \cos(120^\circ) \]

Вычислим это уравнение:

\[
c^2 = 361 + 400 - 380 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right)
\]

\[
c^2 = 361 + 400 + 190 = 951
\]

Корень из 951 можно приближенно записать как:

\[
c = \sqrt{951} \approx 30.83
\]

Таким образом, третья сторона треугольника составляет примерно 30.83 см.

3. Для нахождения угла, противолежащего средней стороне треугольника, мы можем использовать теорему синусов. Пусть этот угол составляет \( A \) градусов. Тогда можем записать уравнение по теореме синусов:

\[
\frac{\sin(A)}{13} = \frac{\sin(180^\circ - 135^\circ)}{\sqrt{119}}
\]

Приведем это уравнение к виду:

\[
\sin(A) = \frac{13 \cdot \sin(180^\circ - 135^\circ)}{\sqrt{119}}
\]

Посчитаем значение синуса обратного угла:

\[
\sin(180^\circ - 135^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Подставляя это значение обратного синуса, получим:

\[
\sin(A) = \frac{13 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{119}} = \frac{13\sqrt{2}}{2\sqrt{119}} = \frac{13\sqrt{2}}{2\sqrt{119}} \cdot \frac{\sqrt{119}}{\sqrt{119}} = \frac{13\sqrt{238}}{238}
\]

Из этого получаем:

\[
A = \sin^{-1}\left(\frac{13\sqrt{238}}{238}\right) \approx 32.73^\circ
\]

Таким образом, угол, противолежащий средней стороне треугольника, составляет примерно \( 32.73^\circ \).