Вариант 8 1. Какая будет длина третьей стороны треугольника, если известно, что две стороны равны 10 см и 2/32

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам найти длину третьей стороны треугольника. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

где \(c\) - третья сторона треугольника, \(a\) и \(b\) - известные стороны треугольника, \(C\) - угол, противолежащий третьей стороне \(c\).

В данной задаче у нас две известные стороны треугольника: 10 см и 2/32 см (что равно 0.0625 см). Угол, противолежащий большей стороне, составляет 135°.

Подставляем значения в формулу:

\[c^2 = (10\, \text{см})^2 + (0.0625\, \text{см})^2 - 2 \cdot 10\, \text{см} \cdot 0.0625\, \text{см} \cdot \cos(135°)\]

\[c^2 = 100\, \text{см}^2 + 0.00390625\, \text{см}^2 - 0.625\, \text{см}^2\]

\[c^2 = 100.00390625\, \text{см}^2 - 0.625\, \text{см}^2\]

\[c^2 \approx 99.37890625\, \text{см}^2\]

Чтобы найти длину третьей стороны, возьмем квадратный корень:

\[c \approx \sqrt{99.37890625\, \text{см}^2} \approx 9.969853315\, \text{см}\]

Таким образом, третья сторона треугольника будет примерно равна 9.97 см.

Чтобы найти значения остальных углов треугольника, воспользуемся тригонометрической функцией синуса. Так как угол, противолежащий большей стороне, составляет 135°, найдем синус этого угла:

\[\sin(135°) = \frac{c}{10\, \text{см}}\]

\[c = 10\, \text{см} \cdot \sin(135°) \approx 14.1421356237\, \text{см}\]

Теперь можем найти остальные углы треугольника:

\[\sin(A) = \frac{0.0625\, \text{см}}{14.1421356237\, \text{см}}\]
\[\sin(B) = \frac{10\, \text{см}}{14.1421356237\, \text{см}}\]

\[A = \sin^{-1}\left(\frac{0.0625\, \text{см}}{14.1421356237\, \text{см}}\right) \approx 0.264\, \text{рад}\]
\[B = \sin^{-1}\left(\frac{10\, \text{см}}{14.1421356237\, \text{см}}\right) \approx 0.927\, \text{рад}\]

Значения углов треугольника (округленные до трех знаков после запятой): \(A \approx 0.264\, \text{рад}\), \(B \approx 0.927\, \text{рад}\) и \(C \approx 2.951\, \text{рад}\).

2. Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой косинусов. У нас есть две известные стороны треугольника: 18 см и 19 см. Угол между ними составляет 120°.

Подставляем значения в формулу:

\[c^2 = (18\, \text{см})^2 + (19\, \text{см})^2 - 2 \cdot 18\, \text{см} \cdot 19\, \text{см} \cdot \cos(120°)\]

\[c^2 = 324\, \text{см}^2 + 361\, \text{см}^2 - 2 \cdot 18\, \text{см} \cdot 19\, \text{см} \cdot \cos(120°)\]

\[c^2 = 324\, \text{см}^2 + 361\, \text{см}^2 - 2 \cdot 18\, \text{см} \cdot 19\, \text{см} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 324\, \text{см}^2 + 361\, \text{см}^2 + 18\, \text{см} \cdot 19\, \text{см}\]

\[c^2 = 685\, \text{см}^2 + 342\, \text{см}^2 = 1027\, \text{см}^2\]

Чтобы найти длину третьей стороны, возьмем квадратный корень:

\[c = \sqrt{1027\, \text{см}^2} \approx 32.0624390834\, \text{см}\]

Таким образом, третья сторона треугольника будет примерно равна 32.06 см.

3. В задаче у нас известны стороны треугольника: 12 см, 15 см и 3n21 (обозначим эту сторону за с). Мы не знаем значение переменной \(n\), но мы можем сделать некоторые выводы о угле, противолежащем средней стороне треугольника.

Для начала, проверим, можно ли построить такой треугольник. Для этого нам нужно, чтобы всякий раз сумма двух сторон была больше третьей стороны.

Проверим неравенства треугольника:

\(\begin{cases}12 + 15 > 3n21\\ 12 + 3n21 > 15\\ 15 + 3n21 > 12\end{cases}\)

Из первого неравенства получим: \(27 > 3n21\), а отсюда: \(n < 9\)

Из второго неравенства получим: \(12 > 3n21\), а отсюда: \(n < 4\)

Из третьего неравенства получим: \(18 > 3n21\), а отсюда: \(n < 6\)

Получаем, что значение \(n\) должно быть меньше 4, но больше 9, то есть нет такого значения переменной, которое бы удовлетворяло условиям построения треугольника.

Таким образом, в данной задаче невозможно сделать выводы о угле, противолежащем средней стороне треугольника, так как треугольник с заданными сторонами не может быть построен.