Вариант 8 1. Какая будет длина третьей стороны треугольника, если известно, что две стороны равны 10 см и 2/32

1. Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам найти длину третьей стороны треугольника. Теорема косинусов гласит:

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$

где $c$ - третья сторона треугольника, $a$ и $b$ - известные стороны треугольника, $C$ - угол, противолежащий третьей стороне $c$.

В данной задаче у нас две известные стороны треугольника: 10 см и 2/32 см (что равно 0.0625 см). Угол, противолежащий большей стороне, составляет 135°.

Подставляем значения в формулу:

$$c^2=(10\text{см}{)}^2+(0.0625\text{см}{)}^2-2\cdot 10\text{см}\cdot 0.0625\text{см}\cdot \cos (135°)$$

$$c^2=100{\text{см}}^2+0.00390625{\text{см}}^2-0.625{\text{см}}^2$$

$$c^2=100.00390625{\text{см}}^2-0.625{\text{см}}^2$$

$$c^2\approx 99.37890625{\text{см}}^2$$

Чтобы найти длину третьей стороны, возьмем квадратный корень:

$$c\approx \sqrt{99.37890625{\text{см}}^2}\approx 9.969853315\text{см}$$

Таким образом, третья сторона треугольника будет примерно равна 9.97 см.

Чтобы найти значения остальных углов треугольника, воспользуемся тригонометрической функцией синуса. Так как угол, противолежащий большей стороне, составляет 135°, найдем синус этого угла:

$$\sin (135°)=\frac{c}{10\text{см}}$$

$$c=10\text{см}\cdot \sin (135°)\approx 14.1421356237\text{см}$$

Теперь можем найти остальные углы треугольника:

$$\sin (A)=\frac{0.0625\text{см}}{14.1421356237\text{см}}$$
$$\sin (B)=\frac{10\text{см}}{14.1421356237\text{см}}$$

$$A={\sin }^{-1}\left(\frac{0.0625\text{см}}{14.1421356237\text{см}}\right)\approx 0.264\text{рад}$$
$$B={\sin }^{-1}\left(\frac{10\text{см}}{14.1421356237\text{см}}\right)\approx 0.927\text{рад}$$

Значения углов треугольника (округленные до трех знаков после запятой): $A\approx 0.264\text{рад}$, $B\approx 0.927\text{рад}$ и $C\approx 2.951\text{рад}$.

2. Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой косинусов. У нас есть две известные стороны треугольника: 18 см и 19 см. Угол между ними составляет 120°.

Подставляем значения в формулу:

$$c^2=(18\text{см}{)}^2+(19\text{см}{)}^2-2\cdot 18\text{см}\cdot 19\text{см}\cdot \cos (120°)$$

$$c^2=324{\text{см}}^2+361{\text{см}}^2-2\cdot 18\text{см}\cdot 19\text{см}\cdot \cos (120°)$$

$$c^2=324{\text{см}}^2+361{\text{см}}^2-2\cdot 18\text{см}\cdot 19\text{см}\cdot (-\frac{1}{2})$$

$$c^2=324{\text{см}}^2+361{\text{см}}^2+18\text{см}\cdot 19\text{см}$$

$$c^2=685{\text{см}}^2+342{\text{см}}^2=1027{\text{см}}^2$$

Чтобы найти длину третьей стороны, возьмем квадратный корень:

$$c=\sqrt{1027{\text{см}}^2}\approx 32.0624390834\text{см}$$

Таким образом, третья сторона треугольника будет примерно равна 32.06 см.

3. В задаче у нас известны стороны треугольника: 12 см, 15 см и 3n21 (обозначим эту сторону за с). Мы не знаем значение переменной $n$, но мы можем сделать некоторые выводы о угле, противолежащем средней стороне треугольника.

Для начала, проверим, можно ли построить такой треугольник. Для этого нам нужно, чтобы всякий раз сумма двух сторон была больше третьей стороны.

Проверим неравенства треугольника:

$\{\begin{array}{l}12+15>3n21\\ 12+3n21>15\\ 15+3n21>12\end{array}$

Из первого неравенства получим: $27>3n21$, а отсюда: $n<9$

Из второго неравенства получим: $12>3n21$, а отсюда: $n<4$

Из третьего неравенства получим: $18>3n21$, а отсюда: $n<6$

Получаем, что значение $n$ должно быть меньше 4, но больше 9, то есть нет такого значения переменной, которое бы удовлетворяло условиям построения треугольника.

Таким образом, в данной задаче невозможно сделать выводы о угле, противолежащем средней стороне треугольника, так как треугольник с заданными сторонами не может быть построен.