Вариант 3. 1. Проведите факторизацию следующих выражений: 1) 1000m³ - n³; 3) -8x² - 16xy – 8y²; 5) 256 - . 2) 81a³ – ab²; 4) 5mn + 15m – 10n – 30; 2. Выразите следующее выражение: a y(y - 5)(y + 5) – (y + 2)(y² - 2y + 4). 3. Произведите факторизацию следующих выражений: -2x ³ - 28x² - 98x; 3) a + - ay³ - y³. 2) 25x² - 10xy + y² - 9; 4. Найдите решение данного уравнения: 1) 2x³ - 32x = 0; 3) x³ + 6x² - x - 6 = 0. 2) 81x³ + 18x² + x = 0; 5. Докажите, что значение выражения 2(в 9 степени)+ 10(в 3 степени) делится нацело на 18. 6. При условии, что a - b = 10 и ab = 7, найдите значение выражения.
Luka
Хорошо, давайте начнем с решения задачи.
1) Факторизуем следующие выражения:
1) \(1000m^3 - n^3\). Мы знаем, что \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Применяя это к данному выражению, получим:
\[1000m^3 - n^3 = (10m - n)(100m^2 + 10mn + n^2).\]
3) \(-8x^2 - 16xy - 8y^2\). Здесь мы наблюдаем общий коэффициент -8, поэтому его можно вынести за скобки. Также у нас есть квадратичный трехчлен \(x^2 - 2xy + y^2\), который можно факторизовать, получив \((x - y)^2\). Факторизуя выражение, мы получим:
\(-8x^2 - 16xy - 8y^2 = -8(x^2 + 2xy + y^2) = -8(x + y)^2.\)
5) \(256 - a^2\). Данное выражение является разностью двух квадратов \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Здесь \(a = 16\) и \(b = \sqrt{a^2} = a\). Факторизуя, получим:
\[256 - a^2 = (16 + a)(16 - a).\]
2) \({81a^3 - ab^2}\). В данном выражении можно применить факторизацию по общему множителю: \(b^2\) выносится за скобки. Также мы можем сократить \(a\) в каждом члене и вынести его за скобки. Факторизация выглядит следующим образом:
\[81a^3 - ab^2 = a(ab^2 - 81a^2).\]
4) \(5mn + 15m - 10n - 30\). Здесь можно применить группирование. Выделим общий множитель в первых двух и последних двух членах:
\[5mn + 15m - 10n - 30 = 5m(n + 3) - 10(n + 3) = (n + 3)(5m - 10).\]
2. Выразим следующее выражение:
\[ay(y - 5)(y + 5) - (y + 2)(y^2 - 2y + 4).\]
Для начала раскроем скобки в обоих частях выражения:
\[ay(y^2 - 25) - (y^3 - 2y^2 + 4y + 2y^2 - 4y + 8).\]
После раскрытия скобок, сгруппируем подобные члены:
\[ay^3 - 25ay - y^3 + 2y^2 - 4y + 2y^2 - 4y + 8.\]
Скомбинируем и упростим выражение:
\[(ay^3 - y^3) + (4y^2 + 2y^2) + (-4y - 4y) - 25ay + 8.\]
Здесь мы можем объединить члены с одинаковыми степенями:
\[(a - 1)y^3 + 6y^2 - 8y - 25ay + 8.\]
Таким образом, мы выполнили задание и выразили данное выражение.
3. Профакторизуем следующие выражения:
-2x^3 - 28x^2 - 98x. Подобно нашему предыдущему примеру, мы замечаем общий множитель \(-2x\), который можно вынести за скобки. Факторизация будет выглядеть следующим образом:
\(-2x(x^2 + 14x + 49) = -2x(x + 7)^2.\)
3) \(a + (-ay^3) - y^3\). Здесь мы можем выделить общий множитель \(-y^3\). Факторизация будет выглядеть так:
\((-y^3)(-a - 1) = y^3(a + 1).\)
2) \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9\). Это является квадратным трехчленом, который можно факторизовать с использованием квадратного трехчлена \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). Факторизация будет выглядеть так:
\((5x - y)^2 - 9 = (5x - y - 3)(5x - y + 3).\)
4. Найдем решение следующего уравнения:
1) \(2x^3 - 32x = 0\). Для начала вынесем общий множитель:
\(2x(x^2 - 16) = 0.\)
Здесь мы видим, что \(x^2 - 16\) является разностью двух квадратов \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), которую можно факторизовать следующим образом:
\(2x(x + 4)(x - 4) = 0.\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = 0, x = -4, x = 4\).
3) \(x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0\). Здесь нет никакого общего множителя, поэтому проведем итерационный процесс поиска рациональных корней. Проверим делители постоянного члена 6: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\). Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти рациональные корни:
При \(x = 1\) получим \(1 + 6 - 1 - 6 = 0\), поэтому \(x - 1\) - это один из множителей.
Используя деление с остатком, разделим \(x^3 + 6x^2 - x - 6\) на \(x - 1\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
& x^2 & 7x & 6 \\
\hline
x - 1 & x^3 & +6x^2 & -x & -6 \\
& x^3 & -x^2 & & \\
\hline
& & 7x^2 & - x & -6 \\
& & 7x^2 & -7x & \\
\hline
& & & 6x & -6 & \\
& & & 6x & -6 & \\
\hline
& & & & 0 &
\end{array}
\]
Таким образом, после разделения получаем:
\(x^3 + 6x^2 - x - 6 = (x - 1)(x^2 + 7x + 6) = (x - 1)(x + 1)(x + 6).\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = 1, x = -1, x = -6\).
2) \(81x^3 + 18x^2 + x = 0\). Также здесь нет общего множителя. Проверим делители постоянного члена 1: \(\pm1\). Подставим эти значения в уравнение:
При \(x = -1\) получим \(-81 - 18 - 1 = 0\), поэтому \(x + 1\) - это один из множителей.
Используя деление с остатком, разделим \(81x^3 + 18x^2 + x\) на \(x + 1\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
& 81x^2 & -63x & 64 \\
\hline
x + 1 & 81x^3 & +18x^2 & +x & \\
& 81x^3 & 81x^2 & & \\
\hline
& & -99x^2 & +x & \\
& & -99x^2 & -99x & \\
\hline
& & & 100x & 64 & \\
& & & 100x & 100 & \\
\hline
& & & & -36 &
\end{array}
\]
Таким образом, после деления получаем:
\(81x^3 + 18x^2 + x = (x + 1)(81x^2 - 99x + 64) = (x + 1)(9x - 8)(9x - 8).\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = -1, x = \frac{8}{9}\).
5. Докажем, что значение выражения \(2^{9} + 10^{3}\) делится нацело на 18. Для этого определим, делится ли каждое слагаемое на 18.
Сначала рассмотрим \(2^{9}\). Чтобы определить, делится ли это число нацело на 18, рассмотрим остаток от деления на 18:
\[2^{9} \equiv 2^1 \cdot 2^8 \equiv 2 \cdot 256 \equiv 512 \equiv 2 \mod 18.\]
Теперь рассмотрим \(10^{3}\):
\[10^{3} \equiv 10 \cdot 10^2 \equiv 10 \cdot 100 \equiv 1000 \equiv 10 \mod 18.\]
Затем складываем полученные значения:
\[2^{9} + 10^{3} \equiv 2 + 10 \equiv 12 \mod 18.\]
Как мы видим, сумма не делится нацело на 18. Доказано, что значение выражения \(2^{9} + 10^{3}\) не делится нацело на 18.
6. При условии, что \(a - b = 10\) и \(ab = 7\), найдем значение выражения.
Мы можем использовать данные условия для определения значений \(a\) и \(b\). Решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
a - b = 10 \\
ab = 7 \\
\end{cases}
\]
Используя метод подстановки, найдем \(a\):
\(a = 10 + b.\)
Подставляем это значение во второе уравнение:
\((10 + b) \cdot b = 7.\)
Распределим произведение:
\(b^2 + 10b = 7.\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(b^2 + 10b - 7 = 0.\)
Для нахождения корней этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -7\).
\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot -7 = 100 + 28 = 128.\)
Так как \(D > 0\), у нас есть два различных вещественных корня:
\(b = \frac{-10 + \sqrt{128}}{2} = \frac{-10 + 8\sqrt{2}}{2} = -5 + 4\sqrt{2}.\)
Теперь, зная значение \(b\), мы можем вычислить значение \(a\):
\(a = 10 + b = 10 + (-5 + 4\sqrt{2}) = 5 + 4\sqrt{2}.\)
Таким образом, значение выражения будет:
\(a^2 - b^2 = (5 + 4\sqrt{2})^2 - (-5 + 4\sqrt{2})^2.\)
Выполняя вычисления, получим:
\(a^2 - b^2 = 48\sqrt{2}.\)
Надеюсь, что вы смогли понять все решения и объяснения к задачам. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
1) Факторизуем следующие выражения:
1) \(1000m^3 - n^3\). Мы знаем, что \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Применяя это к данному выражению, получим:
\[1000m^3 - n^3 = (10m - n)(100m^2 + 10mn + n^2).\]
3) \(-8x^2 - 16xy - 8y^2\). Здесь мы наблюдаем общий коэффициент -8, поэтому его можно вынести за скобки. Также у нас есть квадратичный трехчлен \(x^2 - 2xy + y^2\), который можно факторизовать, получив \((x - y)^2\). Факторизуя выражение, мы получим:
\(-8x^2 - 16xy - 8y^2 = -8(x^2 + 2xy + y^2) = -8(x + y)^2.\)
5) \(256 - a^2\). Данное выражение является разностью двух квадратов \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\). Здесь \(a = 16\) и \(b = \sqrt{a^2} = a\). Факторизуя, получим:
\[256 - a^2 = (16 + a)(16 - a).\]
2) \({81a^3 - ab^2}\). В данном выражении можно применить факторизацию по общему множителю: \(b^2\) выносится за скобки. Также мы можем сократить \(a\) в каждом члене и вынести его за скобки. Факторизация выглядит следующим образом:
\[81a^3 - ab^2 = a(ab^2 - 81a^2).\]
4) \(5mn + 15m - 10n - 30\). Здесь можно применить группирование. Выделим общий множитель в первых двух и последних двух членах:
\[5mn + 15m - 10n - 30 = 5m(n + 3) - 10(n + 3) = (n + 3)(5m - 10).\]
2. Выразим следующее выражение:
\[ay(y - 5)(y + 5) - (y + 2)(y^2 - 2y + 4).\]
Для начала раскроем скобки в обоих частях выражения:
\[ay(y^2 - 25) - (y^3 - 2y^2 + 4y + 2y^2 - 4y + 8).\]
После раскрытия скобок, сгруппируем подобные члены:
\[ay^3 - 25ay - y^3 + 2y^2 - 4y + 2y^2 - 4y + 8.\]
Скомбинируем и упростим выражение:
\[(ay^3 - y^3) + (4y^2 + 2y^2) + (-4y - 4y) - 25ay + 8.\]
Здесь мы можем объединить члены с одинаковыми степенями:
\[(a - 1)y^3 + 6y^2 - 8y - 25ay + 8.\]
Таким образом, мы выполнили задание и выразили данное выражение.
3. Профакторизуем следующие выражения:
-2x^3 - 28x^2 - 98x. Подобно нашему предыдущему примеру, мы замечаем общий множитель \(-2x\), который можно вынести за скобки. Факторизация будет выглядеть следующим образом:
\(-2x(x^2 + 14x + 49) = -2x(x + 7)^2.\)
3) \(a + (-ay^3) - y^3\). Здесь мы можем выделить общий множитель \(-y^3\). Факторизация будет выглядеть так:
\((-y^3)(-a - 1) = y^3(a + 1).\)
2) \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9\). Это является квадратным трехчленом, который можно факторизовать с использованием квадратного трехчлена \(a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2\). Факторизация будет выглядеть так:
\((5x - y)^2 - 9 = (5x - y - 3)(5x - y + 3).\)
4. Найдем решение следующего уравнения:
1) \(2x^3 - 32x = 0\). Для начала вынесем общий множитель:
\(2x(x^2 - 16) = 0.\)
Здесь мы видим, что \(x^2 - 16\) является разностью двух квадратов \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), которую можно факторизовать следующим образом:
\(2x(x + 4)(x - 4) = 0.\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = 0, x = -4, x = 4\).
3) \(x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0\). Здесь нет никакого общего множителя, поэтому проведем итерационный процесс поиска рациональных корней. Проверим делители постоянного члена 6: \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\). Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти рациональные корни:
При \(x = 1\) получим \(1 + 6 - 1 - 6 = 0\), поэтому \(x - 1\) - это один из множителей.
Используя деление с остатком, разделим \(x^3 + 6x^2 - x - 6\) на \(x - 1\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
& x^2 & 7x & 6 \\
\hline
x - 1 & x^3 & +6x^2 & -x & -6 \\
& x^3 & -x^2 & & \\
\hline
& & 7x^2 & - x & -6 \\
& & 7x^2 & -7x & \\
\hline
& & & 6x & -6 & \\
& & & 6x & -6 & \\
\hline
& & & & 0 &
\end{array}
\]
Таким образом, после разделения получаем:
\(x^3 + 6x^2 - x - 6 = (x - 1)(x^2 + 7x + 6) = (x - 1)(x + 1)(x + 6).\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = 1, x = -1, x = -6\).
2) \(81x^3 + 18x^2 + x = 0\). Также здесь нет общего множителя. Проверим делители постоянного члена 1: \(\pm1\). Подставим эти значения в уравнение:
При \(x = -1\) получим \(-81 - 18 - 1 = 0\), поэтому \(x + 1\) - это один из множителей.
Используя деление с остатком, разделим \(81x^3 + 18x^2 + x\) на \(x + 1\):
\[
\begin{array}{c|cccc}
& 81x^2 & -63x & 64 \\
\hline
x + 1 & 81x^3 & +18x^2 & +x & \\
& 81x^3 & 81x^2 & & \\
\hline
& & -99x^2 & +x & \\
& & -99x^2 & -99x & \\
\hline
& & & 100x & 64 & \\
& & & 100x & 100 & \\
\hline
& & & & -36 &
\end{array}
\]
Таким образом, после деления получаем:
\(81x^3 + 18x^2 + x = (x + 1)(81x^2 - 99x + 64) = (x + 1)(9x - 8)(9x - 8).\)
Таким образом, у нас есть три решения: \(x = -1, x = \frac{8}{9}\).
5. Докажем, что значение выражения \(2^{9} + 10^{3}\) делится нацело на 18. Для этого определим, делится ли каждое слагаемое на 18.
Сначала рассмотрим \(2^{9}\). Чтобы определить, делится ли это число нацело на 18, рассмотрим остаток от деления на 18:
\[2^{9} \equiv 2^1 \cdot 2^8 \equiv 2 \cdot 256 \equiv 512 \equiv 2 \mod 18.\]
Теперь рассмотрим \(10^{3}\):
\[10^{3} \equiv 10 \cdot 10^2 \equiv 10 \cdot 100 \equiv 1000 \equiv 10 \mod 18.\]
Затем складываем полученные значения:
\[2^{9} + 10^{3} \equiv 2 + 10 \equiv 12 \mod 18.\]
Как мы видим, сумма не делится нацело на 18. Доказано, что значение выражения \(2^{9} + 10^{3}\) не делится нацело на 18.
6. При условии, что \(a - b = 10\) и \(ab = 7\), найдем значение выражения.
Мы можем использовать данные условия для определения значений \(a\) и \(b\). Решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
a - b = 10 \\
ab = 7 \\
\end{cases}
\]
Используя метод подстановки, найдем \(a\):
\(a = 10 + b.\)
Подставляем это значение во второе уравнение:
\((10 + b) \cdot b = 7.\)
Распределим произведение:
\(b^2 + 10b = 7.\)
Переносим все члены в одну сторону:
\(b^2 + 10b - 7 = 0.\)
Для нахождения корней этого квадратного уравнения можно использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -7\).
\(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot -7 = 100 + 28 = 128.\)
Так как \(D > 0\), у нас есть два различных вещественных корня:
\(b = \frac{-10 + \sqrt{128}}{2} = \frac{-10 + 8\sqrt{2}}{2} = -5 + 4\sqrt{2}.\)
Теперь, зная значение \(b\), мы можем вычислить значение \(a\):
\(a = 10 + b = 10 + (-5 + 4\sqrt{2}) = 5 + 4\sqrt{2}.\)
Таким образом, значение выражения будет:
\(a^2 - b^2 = (5 + 4\sqrt{2})^2 - (-5 + 4\sqrt{2})^2.\)
Выполняя вычисления, получим:
\(a^2 - b^2 = 48\sqrt{2}.\)
Надеюсь, что вы смогли понять все решения и объяснения к задачам. Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
