Вариант № 2. Найдите период и циклическую частоту электромагнитных колебаний в колебательном контуре, состоящем

в колебательный контур с емкостью 100 мкФ, чтобы период колебаний составлял 0,1 с?

№ 2. Для нахождения периода \( T \) и циклической частоты \( \omega \) электромагнитных колебаний в колебательном контуре, состоящем из конденсатора с емкостью \( C = 28 \, \text{мкФ} \) и катушки с индуктивностью \( L = 500 \, \text{мГн} \), можем использовать следующие формулы:

Период колебаний:
\[ T = 2\pi\sqrt{LC} \]

Циклическая частота:
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Подставим известные значения и решим задачу:

\[ T = 2\pi\sqrt{(500 \times 10^{-3}) \times (28 \times 10^{-6})} \]

\[ T \approx 2\pi\sqrt{14} \approx 8,86 \]

\[ \omega = \frac{2\pi}{8,86} \approx 0,71 \, \text{рад/с} \]

Таким образом, период колебаний составляет около 8,86 с, а циклическая частота - около 0,71 рад/с.

№ 3. Для нахождения максимального тока \( I_{\text{max}} \), действующего тока \( I_{\text{эф}} \) и напряжения \( U_{\text{эф}} \) в колебательном контуре с индуктивностью \( L = 38 \, \text{мГн} \), емкостью \( C = 2,5 \, \text{мкФ} \) и максимальным напряжением на конденсаторе \( U = 0,22 \, \text{кВ} \), можем использовать следующие формулы:

Максимальный ток:
\[ I_{\text{max}} = \frac{U}{\sqrt{LC}} \]

Действующий ток:
\[ I_{\text{эф}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]

Действующее напряжение:
\[ U_{\text{эф}} = \frac{U}{\sqrt{2}} \]

Подставим известные значения и решим задачу:

\[ I_{\text{max}} = \frac{0,22 \times 10^3}{\sqrt{(38 \times 10^{-3}) \times (2,5 \times 10^{-6})}} \]

\[ I_{\text{max}} \approx \frac{0,22 \times 10^3}{0,001}\approx 220 \, \text{А} \]

\[ I_{\text{эф}} = \frac{220}{\sqrt{2}} \approx 155,56 \, \text{А} \]

\[ U_{\text{эф}} = \frac{0,22 \times 10^3}{\sqrt{2}} \approx 155,56 \, \text{В} \]

Таким образом, максимальный ток в контуре составляет примерно 220 А, а действующий ток и напряжение равны примерно 155,56 А и 155,56 В соответственно.

№ 4. Для нахождения длины \( L \) математического маятника, чтобы он совершил 90 колебаний за 2 минуты (\( t = 2 \, \text{мин} = 120 \, \text{с} \)), мы можем использовать следующую формулу:

Период колебаний:
\[ T = \frac{2\pi}{\sqrt{g/L}} \]

Подставим известные значения и решим задачу:

\[ L = \frac{g}{\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2} \]

\[ L = \frac{9,8}{\left(\frac{2\pi}{90}\right)^2} \]

\[ L \approx \frac{9,8}{(2\pi/90)^2} \approx 0,533 \, \text{м} \]

Таким образом, длина математического маятника должна быть примерно 0,533 м, чтобы он совершил 90 колебаний за 2 минуты.

№ 5. Чтобы определить индуктивность \( L \) катушки, необходимой для включения в колебательный контур с емкостью \( C = 100 \, \text{мкФ} \), чтобы период колебаний составлял \( T = 0,1 \, \text{с} \), можно использовать следующую формулу:

Индуктивность:
\[ L = \frac{1}{4\pi^2f^2C} \]

где \( f \) - частота колебаний.

Учитывая, что период \( T \) и частота \( f \) связаны следующим образом: \( f = \frac{1}{T} \), подставим известные значения и решим задачу:

\[ L = \frac{1}{4\pi^2\left(\frac{1}{0,1}\right)^2 \times (100 \times 10^{-6})} \]

\[ L = \frac{1}{4\pi^2 \times 100^2 \times 10^{-6}} \approx \frac{1}{0,01257} \approx 79,75 \, \text{мГн} \]

Таким образом, индуктивность катушки должна составлять примерно 79,75 мГн, чтобы период колебаний был равен 0,1 с.