Вариант 2. 1. В треугольнике АВС, где угол А равен 30°, АС равна 12 см, а АВ равна 10 см, определите: А) расстояние

Хорошо, давайте начнем с первой задачи.

1.а) Чтобы найти расстояние между точкой В и прямой АС, мы можем использовать формулу для расстояния от точки до прямой. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \frac{{|Ax + By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

где (Ax, Ay) и (Bx, By) - это координаты двух точек на прямой, а A, B и C - это коэффициенты прямой, заданные уравнением прямой Ax + By + C = 0.

Для нашей задачи, мы знаем, что угол А равен 30°, АС равна 12 см, а АВ равна 10 см. Так как треугольник АВС является прямоугольным, то мы можем использовать его стороны для вычисления коэффициентов A, B и C.

Сначала мы вычислим угол C, то есть угол между сторонами АС и АВ. Угол C можно найти с помощью теоремы косинусов:

\[\cos C = \frac{{AB^2 + AC^2 - BC^2}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}\]

Подставим известные значения:

\[\cos C = \frac{{10^2 + 12^2 - BC^2}}{{2 \cdot 10 \cdot 12}}\]

\[\cos C = \frac{{244 - BC^2}}{{240}}\]

Теперь мы можем выразить BC:

\[BC = \sqrt{{244 - 240 \cdot \cos C}}\]

\[BC = \sqrt{{244 - 240 \cdot \cos 30°}}\]

\[BC = \sqrt{{244 - 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]

\[BC = \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]

Далее, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны AC:

\[\frac{AC}{{\sin C}} = \frac{{AB}}{{\sin B}}\]

Мы уже знаем значению стороны AB и угол C, поэтому можем выразить AC:

\[AC = \frac{{AB \cdot \sin C}}{{\sin B}}\]

\[AC = \frac{{10 \cdot \sin 30°}}{{\sin B}}\]

\[AC = \frac{{10 \cdot \frac{1}{2}}}{{\sin B}}\]

\[AC = \frac{5}{{\sin B}}\]

Теперь мы можем вычислить коэффициенты A, B и C по формулам:

\[A = BC\]
\[B = -AC\]
\[C = AC \cdot BC\]

\[A = \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]
\[B = -\frac{5}{{\sin B}}\]
\[C = \frac{5}{{\sin B}} \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]

Теперь, чтобы найти расстояние между точкой В и прямой АС, мы подставим известные значения в формулу для расстояния от точки до прямой:

\[d = \frac{{|A \cdot Bx + B \cdot By + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{|C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

Подставим значения A, B и C:

\[d = \frac{{|AC \cdot BC|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{|AC \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{5}}{{\sin B}} \cdot \frac{{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{5}}{{\sin B}} \cdot \frac{{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}|}}{{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}} \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}}\]

\[d = \frac{{5}}{{\sin B}}\]

Таким образом, расстояние между точкой В и прямой АС равно \(\frac{{5}}{{\sin B}}\).

1.б) Чтобы найти расстояние между прямыми а и АВ, проведенными через вершину С, мы также можем использовать формулу для расстояния между двумя параллельными прямыми. Формула выглядит так:

\[d = \frac{{|C_2 - C_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

где C1 и C2 - это коэффициенты прямых a и АВ соответственно, а A и B - это коэффициенты их нормали, заданные уравнениями Ax + By + C = 0.

Для нашей задачи, прямая a проходит через вершину С и имеет ту же нормаль, что и прямая АВ. Таким образом, коэффициенты их нормалей и коэффициенты их уравнений одинаковы:

\[A = BC\]
\[B = -AC\]
\[C_1 = AC \cdot BC\]
\[C_2 = AB \cdot CB\]

Подставим известные значения:

\[A = \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]
\[B = -\frac{5}{{\sin B}}\]
\[C_1 = \frac{5}{{\sin B}} \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]
\[C_2 = 10 \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}\]

Теперь подставим значения A, B, C1 и C2 в формулу для расстояния:

\[d = \frac{{|C_2 - C_1|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]

\[d = \frac{{|10 \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}} - \frac{5}{{\sin B}} \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}|}}{{\sqrt{{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}^2 + \left( -\frac{5}{{\sin B}} \right)^2}}}\]

\[d = \frac{{10 \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}} - \frac{5}{{\sin B}} \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}}{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} + \left( \frac{5}{{\sin B}} \right)^2}}\]

\[d = \frac{{9 \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}}{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{25}{{\sin^2 B}}}}\]

Таким образом, расстояние между прямыми а и АВ, проведенными через вершину С, равно \(\frac{{9 \cdot \sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}}}}{\sqrt{{4 + 240 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{25}{{\sin^2 B}}}}\).

2. Чтобы построить равнобедренный треугольник с такой же длиной боковой стороны, и основание которого в два раза короче боковой стороны, мы можем использовать следующий алгоритм:

- Нарисуйте отрезок AC вдоль оси x, представляющий боковую сторону треугольника.
- Найдите середину отрезка AC и назовите ее точкой B.
- От точки B отложите два отрезка равной длины, один влево и один вправо, так чтобы их концы касались оси x. Эти отрезки представляют основание треугольника.
- Соедините вершины A, B и С линиями, чтобы получить равнобедренный треугольник.

Примерно вот так:

   C

   |\

   | \

   |  \

   |   \

   |    \

  B|_____\ A

Теперь у нас есть равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона AC имеет такую же длину, а основание BC в два раза короче боковой стороны AC.