3. ДАВС - треугольник со сторонами равной длины. AD и CF - линии медиан. Каковы условия, при которых действительно

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждый случай по порядку:

а) При известных двух сторонах и угле между ними.

Для того чтобы треугольники DAC и AFC были равновеликими, необходимо, чтобы длина стороны DA равнялась длине стороны AF, а угол DAC равнялся углу FCA. Также, известно, что линия медианы CF равна линии медианы AD.

Мы можем воспользоваться законом косинусов для нахождения стороны треугольника:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(DAC)\]

Получившуюся формулу мы можем использовать для определения условий, при которых сторона AC (или равновеликая сторона AF) будет иметь одну и ту же длину для двух треугольников и угол DAC будет равняться углу FCA.

б) При известной стороне и углах, смежных с ней.

В этом случае, необходимо, чтобы сторона AC (или равновеликая сторона AF) имела одинаковую длину в обоих треугольниках, а также углы DAC и FCA были равными.

Мы можем использовать теорему синусов для нахождения длины стороны AC:

\[\frac{sin(DAC)}{AC} = \frac{sin(ADC)}{AD} \quad\text{и}\quad \frac{sin(FCA)}{AC} = \frac{sin(AFC)}{AF}\]

Таким образом, мы можем найти условия, при которых длина стороны AC будет равна длине стороны AF и угол DAC равен углу FCA.

в) При известных трех сторонах.

В этом случае, нам известны длины сторон DA, AD, AF, и нужно найти условия, при которых треугольники DAC и AFC равновелики.

Мы можем использовать формулу Герона для нахождения площади треугольника по его сторонам:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Необходимо, чтобы площади треугольников DAC и AFC были равными:

\[\sqrt{p_D(p_D - DA)(p_D - AD)(p_D - CD)} = \sqrt{p_A(p_A - AF)(p_A - FA)(p_A - CA)}\]

где \(p_D\) и \(p_A\) - полупериметры для треугольников DAC и AFC соответственно.

Мы можем использовать это условие для определения, при каких условиях треугольники DAC и AFC будут равновеликими.

Таким образом, мы можем использовать вышеприведенные формулы и условия для определения, при каких условиях треугольники DAC и AFC будут иметь равные углы и стороны. Необходимо выполнение всех указанных условий, чтобы треугольники были действительно равновеликими.