Вариант 1: 1. Что является координатами точки В (−2; 5) и С (4; 1), и какова длина отрезка ВС? 2. Если центр окружности

Начнем с задачи номер 1. Для определения координат точек В и С, заданных через их абсциссы и ординаты, просто используем данные в скобках. Таким образом, координаты точки В равны (-2; 5), а координаты точки С равны (4; 1).

Для расчета длины отрезка ВС, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в двумерной системе координат. Формула имеет вид:

\[d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]

Где \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) - координаты двух точек. В нашем случае, используя координаты В (-2; 5) и С (4; 1), получим:

\[d = \sqrt{(4-(-2))^2 + (1-5)^2}\]
\[d = \sqrt{6^2 + (-4)^2}\]
\[d = \sqrt{36 + 16}\]
\[d = \sqrt{52}\]

Таким образом, длина отрезка ВС равна \(\sqrt{52}\).

Перейдем к задаче номер 2. Для составления уравнения окружности, мы можем использовать формулу окружности в общем виде:

\[(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\]

Где (a; b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. В нашем случае, у нас даны координаты центра А (-1; 2) и точки М (1; 7). Радиус можно найти, используя расстояние между точками:

\[r=\sqrt{(1-(-1))^2+(7-2)^2}\]
\[r=\sqrt{2^2+5^2}\]
\[r=\sqrt{29}\]

Теперь, зная координаты центра и радиус, мы можем составить уравнение окружности:

\[(x+1)^2 + (y-2)^2 = (\sqrt{29})^2\]

Перейдем к задаче номер 3. Для нахождения координат вершины В параллелограмма ABCD, нам необходимо использовать свойства параллелограмма, а именно то, что противолежащие стороны параллелограмма имеют равные длины и параллельны друг другу.

Таким образом, сторона АС параллельна стороне ВD и имеет равную длину. Используя формулу расстояния между двумя точками, можем вычислить длину стороны АС:

\[d_{AC} = \sqrt{(9-3)^2 + (8-(-2))^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{6^2 + 10^2}\]
\[d_{AC} = \sqrt{36 + 100}\]
\[d_{AC} = \sqrt{136}\]

Теперь у нас есть длина стороны АС, и мы можем переместиться в направлении стороны АС от точки А (3; -2), чтобы найти координаты вершины В. Так как стороны АС и ВD параллельны, мы можем использовать то же самое расстояние для нахождения вершины В.

Координаты вершины В будут:

\[x_B = x_A + \frac{d_{AC}}{d_{AD}} \cdot (x_D - x_A)\]
\[y_B = y_A + \frac{d_{AC}}{d_{AD}} \cdot (y_D - y_A)\]

Где (x_A; y_A), (x_D; y_D) - координаты точек А и D соответственно, а \(d_{AD}\) - длина стороны AD, которую мы можем найти аналогично используя формулу расстояния между двумя точками.

Перейдем к задаче номер 4. Для составления уравнения прямой, которая проходит через точки А (1; 1) и В (-2; 13), мы можем использовать формулу прямой в общем виде:

\[\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}\]

Где (x_1; y_1) и (x_2; y_2) - координаты двух точек, через которые проходит прямая. В нашем случае, точка А имеет координаты (1; 1), а точка В - (-2; 13). Подставляя эти значения в формулу, получим:

\[\frac{x-1}{-2-1} = \frac{y-1}{13-1}\]
\[\frac{x-1}{-3} = \frac{y-1}{12}\]
\[\frac{x-1}{-3} = \frac{y-1}{12}\]

Перейдем к задаче номер 5. Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и находится на равном расстоянии от точек А (-1; 4) и В (5; 2), мы можем использовать симметрию относительно оси абсцисс.

Так как точка находится на равном расстоянии от А и В, это означает, что ее ордината будет равна ординате точки А. Таким образом, координаты данной точки будут \((x; 4)\).

Чтобы найти значение абсциссы, мы можем использовать среднее арифметическое от абсцисс точек А и В, так как требуется, чтобы это расстояние было равно. Имеем:

\[x = \frac{(x_A + x_B)}{2} = \frac{(-1 + 5)}{2} = \frac{4}{2} = 2\]

Таким образом, координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и находящейся на равном расстоянии от точек А и В, это (2; 4).

И, наконец, перейдем к задаче номер 6. Вопрос неполный, и нужно уточнить, что требуется найти уравнение для чего (прямой, окружности, параболы и т.д.). Если вы можете уточнить задачу, я буду рад помочь вам.