Variant 1: 1. Choose a pair of numbers that can simultaneously be equal to the tangent and cotangent of the same angle

1. Выберите пару чисел, которая одновременно может быть равна тангенсу и котангенсу одного и того же угла:

A) 2 и 3
B) 0.25 и 4
C) 1 и -1

Ответ: Пара чисел, которая одновременно может быть равна тангенсу и котангенсу одного и того же угла, - это пара чисел 1 и -1 (вариант C).

2. Выберите пару чисел, которая одновременно может быть равна синусу и косинусу одного и того же угла:

A) 0.5 и 2
B) 0.5 и 0.5
C) 0.6 и 0.8

Ответ: Пара чисел, которая одновременно может быть равна синусу и косинусу одного и того же угла, - это пара чисел 0.5 и 0.5 (вариант B).

3. Найдите значение выражения sin^2α + cos^2α + 5.

Решение: Заметим, что sin^2α + cos^2α = 1 (это является следствием тригонометрического тождества). Тогда значение выражения будет 1 + 5 = 6.

Ответ: Значение выражения sin^2α + cos^2α + 5 равно 6.

4. Упростите выражение ctgαtgα - sin^2α.

Решение: Используем известные соотношения: ctgα = 1/tgα и tgα = sinα/cosα. Подставляем их в выражение:

ctgαtgα - sin^2α = (1/tgα) * (sinα/cosα) - sin^2α = sinα/cosα * 1/sinα - sin^2α = 1/cosα - sin^2α.

Так как cosα = -3/5, то получаем:

1/cosα - sin^2α = 1/(-3/5) - sin^2α = -5/3 - sin^2α.

Ответ: Упрощенное выражение ctgαtgα - sin^2α равно -5/3 - sin^2α.

5. Найдите значения sinα, ctgα, tgα, если cosα = -3/5 и π < α < 3π/2.

Решение: Для нахождения значений sinα, ctgα, tgα воспользуемся следующими формулами:

sinα = √(1 - cos^2α), ctgα = 1/tgα, tgα = sinα/cosα.

Сначала найдем sinα:

sinα = √(1 - cos^2α) = √(1 - (-3/5)^2) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5.

Затем найдем ctgα:

ctgα = 1/tgα = 1/(sinα/cosα) = cosα/sinα = (-3/5)/(4/5) = -3/4.

И наконец, найдем tgα:

tgα = sinα/cosα = (4/5)/(-3/5) = -4/3.

Ответ: sinα = 4/5, ctgα = -3/4, tgα = -4/3.

6. Найдите значение tgα, если sinα = -5/13 и 180° < α < 270°.

Решение: Для нахождения значения tgα воспользуемся формулой tgα = sinα/cosα.

Так как sinα = -5/13, найдем cosα:

cosα = √(1 - sin^2α) = √(1 - (-5/13)^2) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13.

Затем получаем значение tgα:

tgα = sinα/cosα = (-5/13)/(12/13) = -5/12.

Ответ: Значение tgα равно -5/12.

7. Докажите, что значение выражения (5α^2