В треугольнике MNK MNK проведена высота NS NS из вершины NN так, что точка S S лежит на отрезке MK MK и углы

Пусть длина стороны MN равна x. Также, пусть точка H - основание высоты NS.

Так как угол MNS равен углу NKS, то треугольники MNS и NKS подобны.

Из подобия треугольников мы можем установить следующее соотношение:

\(\frac{{MS}}{{NS}} = \frac{{SN}}{{KS}}\)

Подставляя известные значения, мы получаем:

\(\frac{{6}}{{NS}} = \frac{{NS - 6}}{{x}}\)

Решим эту пропорцию относительно переменной x.

Умножим обе части пропорции на NS и раскроем скобки:

\(6x = NS^2 - 6NS\)

Так как мы знаем, что высота является перпендикуляром к основанию, то треугольник MNS - прямоугольный треугольник.

Используя теорему Пифагора в треугольнике MNS, получаем:

\(x^2 = NS^2 - 36\)

Теперь мы можем соединить оба уравнения:

\(6x = x^2 - 6NS + 36\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\(x^2 - 6x - 6NS + 36 = 0\)

А теперь заметим, что треугольник MNK - прямоугольный, и поэтому можем использовать теорему Пифагора еще раз:

\(x^2 = NS^2 + SK^2\)

Подставим известные значения:

\(x^2 = NS^2 + 36\)

Таким образом, уравнения связывают стороны x и NS:

\(\begin{cases}
x^2 - 6x - 6NS + 36 = 0 \\
x^2 = NS^2 + 36
\end{cases}\)

Решим эту систему уравнений методом подстановки.

Из второго уравнения получаем выражение для NS:

\(NS^2 = x^2 - 36\)

Подставим это выражение в первое уравнение:

\(x^2 - 6x - 6(x^2 - 36) + 36 = 0\)

Раскроем скобки и упростим:

\(x^2 - 6x - 6x^2 + 216 + 36 = 0\)

Сгруппируем похожие члены:

\(-5x^2 - 6x + 252 = 0\)

Чтобы решить это уравнение, мы можем применить квадратное уравнение или факторизацию.

Мы увидим, что 252 является произведением двух различных натуральных чисел: 6 и 42. А также, чтобы коэффициент при \(x^2\) был отрицательным, большее число должно быть отрицательным.

Таким образом, мы можем представить уравнение следующим образом:

\(-5x^2 - 6x + 252 = -5x^2 - 42x + 36x + 252 = -3x(5x + 14) + 36(5x + 14) = (5x + 14)(36 - 3x) = 0\)

Решим эти два линейных уравнения по отдельности:

\(5x + 14 = 0\) или \(36 - 3x = 0\)

Из первого уравнения получаем, что \(x = -\frac{14}{5}\), но так как сторона треугольника не может быть отрицательной, этот ответ нам не подходит.

Из второго уравнения получаем, что \(36 - 3x = 0\), то есть \(x = \frac{36}{3} = 12\).

Таким образом, длина стороны MN равна 12.