В треугольнике АВС , высоту АН провели из точки А. Вне плоскости АВС выбрали точку Д так, что отрезок

а) Чтобы определить плоскость, перпендикулярную прямой АД, нужно найти направляющие векторы этой плоскости.

В данной задаче у нас есть две перпендикулярные прямые: АД и ВС. Из этого следует, что направляющие векторы этих прямых также будут перпендикулярны.

Направляющим вектором прямой АД является вектор \(\overrightarrow{AD}\). Зная координаты точек А и Д, мы можем найти этот вектор:
\(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\)

Теперь найдем направляющий вектор прямой ВС. Поскольку ортогональное условие выполняется относительно отрезка ВС и отрезка АВ, векторы \(\overrightarrow{ВС}\) и \(\overrightarrow{АВ}\) будут коллинеарны. Поэтому мы можем использовать направляющий вектор прямой АВ в качестве направляющего вектора прямой ВС:
\(\overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АВ}\)

Таким образом, направляющими векторами плоскости, перпендикулярной прямой АД, будут \(\overrightarrow{AD}\) и \(\overrightarrow{АВ}\).

Теперь мы можем записать уравнение плоскости, зная нормальный вектор (произведение направляющих векторов) и координаты точки А:
Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АД:
\((\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{АВ}) \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0\)

где \(\vec{r}\) - координаты произвольной точки \(\vec{r}(x, y, z)\) в плоскости.

б) Чтобы найти плоскость, перпендикулярную прямой АВ, нам необходимо использовать аналогичный подход. Плоскость, перпендикулярная прямой АВ, будет иметь направляющие векторы, которые коллинеарны векторам \(\overrightarrow{АВ}\) и \(\overrightarrow{АН}\).

Таким образом, направляющие векторы плоскости, перпендикулярной прямой АВ, будут \(\overrightarrow{АВ}\) и \(\overrightarrow{АН}\).

Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АВ:
\((\overrightarrow{АВ} \cdot \overrightarrow{АН}) \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0\)

в) Также, чтобы определить плоскость, перпендикулярную прямой АН, мы можем использовать аналогичный метод. Направляющими векторами плоскости будут \(\overrightarrow{АН}\) и \(\overrightarrow{ВС}\).

Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой АН:
\((\overrightarrow{АН} \cdot \overrightarrow{ВС}) \cdot (\vec{r} - \vec{A}) = 0\)

Таким образом, мы нашли плоскости, перпендикулярные данным прямым в треугольнике АВС. Каждая плоскость определена своим уравнением, которое зависит от направляющих векторов прямой и координат определенной точки в плоскости.