В треугольнике АВС с вершинами А(8;-1), В(3;–2) и С(5;-2) необходимо найти: а) уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М, б) уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М, в) длину высоты, проведенной из точки С на сторону АВ.
Pupsik_5726
Для начала, давайте найдем координаты точки М. Точка М является серединой стороны АВ треугольника АВС.
Для нахождения координат точки М, мы можем использовать среднее арифметическое значений координат вершин А и В.
X-координата М:
\(X_M = \frac{X_A + X_B}{2} = \frac{8 + 3}{2} = \frac{11}{2}\)
Y-координата М:
\(Y_M = \frac{Y_A + Y_B}{2} = \frac{-1 + (-2)}{2} = \frac{-3}{2}\)
Таким образом, координаты точки М равны \(М(\frac{11}{2}, \frac{-3}{2})\).
Теперь, перейдем к решению каждой задачи.
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Медиана - это линия, которая соединяет вершину треугольника со серединой противоположной стороны. В данной задаче, нам нужно найти уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Для нахождения уравнения медианы, мы можем использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Используя точки В и М, у нас есть две точки, через которые должна проходить медиана. Подставляя значения координат в уравнение прямой, мы можем найти уравнение медианы.
Пусть уравнение медианы будет \(y = kx + c\).
1) Подставим координаты точки B в уравнение:
\(-2 = k \cdot 3 + c\)
2) Подставим координаты точки M в уравнение:
\(-\frac{3}{2} = k \cdot \frac{11}{2} + c\)
Теперь у нас есть система уравнений:
\(-2 = 3k + c\)
\(-\frac{3}{2} = \frac{11}{2}k + c\)
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения k и c, которые будут коэффициентами в уравнении медианы.
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М.
Для нахождения уравнения перпендикуляра, мы можем использовать одно из свойств перпендикулярных прямых - их угловой коэффициент является отрицательным обратным числом.
Так как перпендикуляр проходит через точку С и перпендикулярен медиане, его угловой коэффициент будет обратным значением углового коэффициента медианы.
Найденные значения k и c для медианы нам понадобятся для нахождения уравнения перпендикуляра.
в) Длина высоты, проведенной из точки С на сторону.
Для нахождения длины высоты, проведенной из точки С на сторону, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой.
Отлично, давайте решим каждую часть задачи подробнее.
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Для начала найдем уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Мы знаем, что медиана делит сторону пополам и пересекается с точкой М, что является серединой стороны АВ.
Так как мы уже нашли координаты точки М, можем найти уравнение медианы, используя метод середины.
Мы знаем, что точка середины стороны АВ будет иметь координаты равные среднему значению координат точек А и В.
Координаты точки В: \(B(3,-2)\)
Координаты точки М: \(M(\frac{11}{2}, \frac{-3}{2})\)
Координаты точки М:
\(X_M = \frac{3+\frac{11}{2}}{2} = \frac{6+11}{4} = \frac{17}{4}\)
\(Y_M = \frac{-2+\frac{-3}{2}}{2} = \frac{-4-3}{4} = \frac{-7}{4}\)
Таким образом, точка М имеет координаты \(M(\frac{17}{4}, \frac{-7}{4})\). Теперь у нас есть точка, через которую проходит медиана. Остается найти уравнение этой медианы.
Мы знаем, что уравнение прямой может быть записано в виде \(y = kx + b\), где \(k\) - коэффициент наклона и \(b\) - свободный член.
Для нахождения уравнения медианы нам нужно найти значения \(k\) и \(b\).
1) Чтобы найти коэффициент наклона \(k\), мы можем использовать формулу \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки В, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки М.
Заменяя значения координат, получим:
\(k = \frac{\frac{-7}{4} - (-2)}{\frac{17}{4} - 3} = \frac{-7 + 8}{17 - 12} = \frac{1}{5}\)
2) Для нахождения свободного члена \(b\), мы можем использовать уравнение прямой и подставить в него значения координат точки М и найденное значение \(k\).
Заменяя значения координат и \(k\), получим:
\(\frac{-7}{4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{17}{4} + b\)
Упрощаем уравнение:
\(-7 = \frac{1}{5} \cdot 17 + 4b\)
\(-7 = \frac{17}{5} + 4b\)
Переносим все члены с \(b\) на одну сторону уравнения:
\(-7 - \frac{17}{5} = 4b\)
Выполняем вычисления:
\(-\frac{35}{5} - \frac{17}{5} = 4b\)
\(-\frac{52}{5} = 4b\)
\(b = -\frac{13}{5}\)
Таким образом, уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М, будет:
\(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М.
Для нахождения уравнения перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, мы можем использовать свойства перпендикулярных прямых.
Одно из таких свойств - угловой коэффициент перпендикуляра является отрицательным обратным числом углового коэффициента медианы.
Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М, мы уже нашли: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
Его угловой коэффициент равен \(\frac{1}{5}\).
Положим, что угловой коэффициент перпендикуляра равен \(k_2\).
Тогда \(-\frac{1}{k_2}\) будет равно \(\frac{1}{5}\).
Следовательно, \(-\frac{1}{k_2} = \frac{1}{5}\).
Найдем \(k_2\):
\(\frac{1}{k_2} = \frac{1}{5}\)
\(k_2 = 5\)
Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку С с коэффициентом наклона \(k_2 = 5\).
Для этого мы можем использовать формулу уравнения прямой, подставив значения координат точки С и \(k_2\).
Координаты точки С: \(C(5,-2)\)
Подставляем значения и находим свободный член \(b_2\):
\(-2 = 5 \cdot 5 + b_2\)
\(-2 = 25 + b_2\)
Переносим все члены с \(b_2\) на одну сторону уравнения:
\(b_2 = -2 - 25\)
\(b_2 = -27\)
Таким образом, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М, будет:
\(y = 5x - 27\)
в) Длина высоты, проведенной из точки С на сторону.
Для нахождения длины высоты, проведенной из точки С на сторону, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой.
Формула для расстояния между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\) выглядит следующим образом:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
В данной задаче, нам нужно найти длину высоты, проведенной из точки С на сторону. То есть, мы будем находить расстояние между точкой С и прямой, содержащей эту сторону.
Пусть уравнение стороны будет \(Ax + By + C = 0\).
Мы уже нашли уравнение стороны ВМ, оно равно \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\).
Для нахождения расстояния между точкой С и прямой, мы должны знать коэффициенты A, B и C в уравнении прямой.
Мы можем выразить уравнение стороны ВМ в форме \(Ax + By + C = 0\) и найти эти коэффициенты.
Уравнение стороны ВМ: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
Перепишем его в форме \(Ax + By + C = 0\):
\(\frac{1}{5}x - y + \frac{13}{5} = 0\)
Таким образом, коэффициенты A, B и C равны:
\(A = \frac{1}{5}\)
\(B = -1\)
\(C = \frac{13}{5}\)
Теперь мы можем подставить значения коэффициентов в формулу для расстояния и найти длину высоты.
Заменяем значения и находим расстояние \(d\):
\[d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{1}{5} \cdot 5 + (-1) \cdot (-2) + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 + (-1)^2}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{1}{5} \cdot 5 + 2 + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1}{25} + 1}}\]
Упрощаем и вычисляем значения в числителе и знаменателе:
\[d = \frac{\left|1 + 2 + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1}{25} + 1}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{10 + 25 + 13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1 + 25}{25}}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{48}{5}\right|}{\sqrt{\frac{26}{25}}}\]
\[d = \frac{\frac{48}{5}}{\frac{5}{\sqrt{26}}}\]
\[d = \frac{48}{\sqrt{26}}\]
Таким образом, длина высоты, проведенной из точки С на сторону, равна \(\frac{48}{\sqrt{26}}\).
Итак, мы решили задачу и нашли:
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точ
Для нахождения координат точки М, мы можем использовать среднее арифметическое значений координат вершин А и В.
X-координата М:
\(X_M = \frac{X_A + X_B}{2} = \frac{8 + 3}{2} = \frac{11}{2}\)
Y-координата М:
\(Y_M = \frac{Y_A + Y_B}{2} = \frac{-1 + (-2)}{2} = \frac{-3}{2}\)
Таким образом, координаты точки М равны \(М(\frac{11}{2}, \frac{-3}{2})\).
Теперь, перейдем к решению каждой задачи.
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Медиана - это линия, которая соединяет вершину треугольника со серединой противоположной стороны. В данной задаче, нам нужно найти уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Для нахождения уравнения медианы, мы можем использовать формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.
Используя точки В и М, у нас есть две точки, через которые должна проходить медиана. Подставляя значения координат в уравнение прямой, мы можем найти уравнение медианы.
Пусть уравнение медианы будет \(y = kx + c\).
1) Подставим координаты точки B в уравнение:
\(-2 = k \cdot 3 + c\)
2) Подставим координаты точки M в уравнение:
\(-\frac{3}{2} = k \cdot \frac{11}{2} + c\)
Теперь у нас есть система уравнений:
\(-2 = 3k + c\)
\(-\frac{3}{2} = \frac{11}{2}k + c\)
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения k и c, которые будут коэффициентами в уравнении медианы.
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М.
Для нахождения уравнения перпендикуляра, мы можем использовать одно из свойств перпендикулярных прямых - их угловой коэффициент является отрицательным обратным числом.
Так как перпендикуляр проходит через точку С и перпендикулярен медиане, его угловой коэффициент будет обратным значением углового коэффициента медианы.
Найденные значения k и c для медианы нам понадобятся для нахождения уравнения перпендикуляра.
в) Длина высоты, проведенной из точки С на сторону.
Для нахождения длины высоты, проведенной из точки С на сторону, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой.
Отлично, давайте решим каждую часть задачи подробнее.
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Для начала найдем уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М.
Мы знаем, что медиана делит сторону пополам и пересекается с точкой М, что является серединой стороны АВ.
Так как мы уже нашли координаты точки М, можем найти уравнение медианы, используя метод середины.
Мы знаем, что точка середины стороны АВ будет иметь координаты равные среднему значению координат точек А и В.
Координаты точки В: \(B(3,-2)\)
Координаты точки М: \(M(\frac{11}{2}, \frac{-3}{2})\)
Координаты точки М:
\(X_M = \frac{3+\frac{11}{2}}{2} = \frac{6+11}{4} = \frac{17}{4}\)
\(Y_M = \frac{-2+\frac{-3}{2}}{2} = \frac{-4-3}{4} = \frac{-7}{4}\)
Таким образом, точка М имеет координаты \(M(\frac{17}{4}, \frac{-7}{4})\). Теперь у нас есть точка, через которую проходит медиана. Остается найти уравнение этой медианы.
Мы знаем, что уравнение прямой может быть записано в виде \(y = kx + b\), где \(k\) - коэффициент наклона и \(b\) - свободный член.
Для нахождения уравнения медианы нам нужно найти значения \(k\) и \(b\).
1) Чтобы найти коэффициент наклона \(k\), мы можем использовать формулу \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\), где \((x_1, y_1)\) - координаты точки В, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки М.
Заменяя значения координат, получим:
\(k = \frac{\frac{-7}{4} - (-2)}{\frac{17}{4} - 3} = \frac{-7 + 8}{17 - 12} = \frac{1}{5}\)
2) Для нахождения свободного члена \(b\), мы можем использовать уравнение прямой и подставить в него значения координат точки М и найденное значение \(k\).
Заменяя значения координат и \(k\), получим:
\(\frac{-7}{4} = \frac{1}{5} \cdot \frac{17}{4} + b\)
Упрощаем уравнение:
\(-7 = \frac{1}{5} \cdot 17 + 4b\)
\(-7 = \frac{17}{5} + 4b\)
Переносим все члены с \(b\) на одну сторону уравнения:
\(-7 - \frac{17}{5} = 4b\)
Выполняем вычисления:
\(-\frac{35}{5} - \frac{17}{5} = 4b\)
\(-\frac{52}{5} = 4b\)
\(b = -\frac{13}{5}\)
Таким образом, уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М, будет:
\(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М.
Для нахождения уравнения перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, мы можем использовать свойства перпендикулярных прямых.
Одно из таких свойств - угловой коэффициент перпендикуляра является отрицательным обратным числом углового коэффициента медианы.
Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М, мы уже нашли: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
Его угловой коэффициент равен \(\frac{1}{5}\).
Положим, что угловой коэффициент перпендикуляра равен \(k_2\).
Тогда \(-\frac{1}{k_2}\) будет равно \(\frac{1}{5}\).
Следовательно, \(-\frac{1}{k_2} = \frac{1}{5}\).
Найдем \(k_2\):
\(\frac{1}{k_2} = \frac{1}{5}\)
\(k_2 = 5\)
Теперь нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через точку С с коэффициентом наклона \(k_2 = 5\).
Для этого мы можем использовать формулу уравнения прямой, подставив значения координат точки С и \(k_2\).
Координаты точки С: \(C(5,-2)\)
Подставляем значения и находим свободный член \(b_2\):
\(-2 = 5 \cdot 5 + b_2\)
\(-2 = 25 + b_2\)
Переносим все члены с \(b_2\) на одну сторону уравнения:
\(b_2 = -2 - 25\)
\(b_2 = -27\)
Таким образом, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки С на медиану, проходящую через точку М, будет:
\(y = 5x - 27\)
в) Длина высоты, проведенной из точки С на сторону.
Для нахождения длины высоты, проведенной из точки С на сторону, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между точкой и прямой.
Формула для расстояния между точкой \((x_0, y_0)\) и прямой \(Ax + By + C = 0\) выглядит следующим образом:
\[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
В данной задаче, нам нужно найти длину высоты, проведенной из точки С на сторону. То есть, мы будем находить расстояние между точкой С и прямой, содержащей эту сторону.
Пусть уравнение стороны будет \(Ax + By + C = 0\).
Мы уже нашли уравнение стороны ВМ, оно равно \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\).
Для нахождения расстояния между точкой С и прямой, мы должны знать коэффициенты A, B и C в уравнении прямой.
Мы можем выразить уравнение стороны ВМ в форме \(Ax + By + C = 0\) и найти эти коэффициенты.
Уравнение стороны ВМ: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
Перепишем его в форме \(Ax + By + C = 0\):
\(\frac{1}{5}x - y + \frac{13}{5} = 0\)
Таким образом, коэффициенты A, B и C равны:
\(A = \frac{1}{5}\)
\(B = -1\)
\(C = \frac{13}{5}\)
Теперь мы можем подставить значения коэффициентов в формулу для расстояния и найти длину высоты.
Заменяем значения и находим расстояние \(d\):
\[d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{1}{5} \cdot 5 + (-1) \cdot (-2) + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2 + (-1)^2}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{1}{5} \cdot 5 + 2 + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1}{25} + 1}}\]
Упрощаем и вычисляем значения в числителе и знаменателе:
\[d = \frac{\left|1 + 2 + \frac{13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1}{25} + 1}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{10 + 25 + 13}{5}\right|}{\sqrt{\frac{1 + 25}{25}}}\]
\[d = \frac{\left|\frac{48}{5}\right|}{\sqrt{\frac{26}{25}}}\]
\[d = \frac{\frac{48}{5}}{\frac{5}{\sqrt{26}}}\]
\[d = \frac{48}{\sqrt{26}}\]
Таким образом, длина высоты, проведенной из точки С на сторону, равна \(\frac{48}{\sqrt{26}}\).
Итак, мы решили задачу и нашли:
а) Уравнение медианы, проведенной из точки В и проходящей через точку М: \(y = \frac{1}{5}x - \frac{13}{5}\)
б) Уравнение перпендикуляра, опущенного из точ
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
