В треугольнике ABC угол A составляет 120°. Докажите, что расстояние от точки A до прямой BC вдвое больше расстояния

Чтобы доказать данное утверждение, нам необходимо разобрать ряд шагов.

1. Во-первых, построим треугольник ABC и нарисуем высоты, проведенные из вершины А к сторонам BC, B1 и C1, соответственно.

2. Затем обратим внимание на прямоугольные треугольники ABB1 и ACC1. В этих треугольниках угол BAC является общим, поскольку они разделяют сторону AB.

3. Используя свойство прямоугольных треугольников, мы знаем, что в этих треугольниках угол B1AB равен углу CAB (поскольку это вертикальные углы), а угол C1AC также равен углу CAB (также вертикальные углы).

4. Теперь сравним треугольники AB1C1 и ABB1. Обратите внимание, что они имеют две равные пары углов - B1AB и BAC, а также C1AC и CAB.

5. Из этого следует, что эти треугольники являются подобными (закон подобия треугольников по двум углам).

6. В силу свойства подобных треугольников, мы знаем, что соотношение длин сторон AB1 и AB равно соотношению длин сторон AC1 и AC:

\[\frac{AB1}{AB} = \frac{AC1}{AC}\]

7. Мы также знаем, что углы B1 и C1 - прямые углы, так как B1B и C1C - высоты треугольника, а прямые углы в прямоугольных треугольниках равны 90°. Таким образом, треугольник AB1C1 также является прямоугольным.

8. Обратим внимание, что основание высоты из точки А в треугольнике AB1C1 составляет половину основания BC:

\[B1C1 = \frac{1}{2}BC\]

9. Из соответствующих сторон подобных треугольников AB1C1 и ABC, получаем:

\[\frac{AB1}{AB} = \frac{B1C1}{BC}\]

10. Подставив соотношение B1C1 = \(\frac{1}{2}BC\), получаем:

\[\frac{AB1}{AB} = \frac{1}{2}\]

11. Рассмотрим расстояние от точки А до прямой BC, обозначим его как h_BC. Расстояние от точки А до прямой B1C1 обозначим как h_B1C1. Тогда:

\[h_BC = AB \cdot \sin(\angle BAC)\]
\[h_B1C1 = AB1 \cdot \sin(\angle B1AB) = AB1 \cdot \sin(\angle CAB)\]

12. Так как угол CAB равен 120°, а синус 120° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем:

\[h_BC = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

13. Теперь, используя полученное ранее соотношение \(\frac{AB1}{AB} = \frac{1}{2}\), мы можем выразить AB1 через AB:

\[AB1 = \frac{1}{2} AB\]

14. Подставим это в выражение для \(h_B1C1\):

\[h_B1C1 = \frac{1}{2} AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\]

15. Теперь сравним полученные выражения для \(h_BC\) и \(h_B1C1\):

\[h_BC = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[h_B1C1 = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\]

16. Заметим, что \(h_BC\) вдвое больше, чем \(h_B1C1\):

\[2 \cdot h_B1C1 = h_BC\]

Таким образом, доказывается, что расстояние от точки А до прямой BC вдвое больше расстояния от точки А до прямой, проходящей через основания высот треугольника ABC и обозначенные B1 и C1 соответственно.