В треугольнике ABC угол A равен 17°, угол C равен 117°. Биссектриса внешнего угла при вершине B обозначается как

Чтобы найти угол ADK, мы должны сначала понять, как связаны углы в треугольнике ABC и его биссектриса BD.

В треугольнике ABC у нас уже известны два угла: угол A = 17° и угол C = 117°. Чтобы найти третий угол, мы можем использовать свойство суммы углов треугольника, которое гласит, что сумма всех углов треугольника равна 180°.

Угол B = 180° - угол A - угол C
Угол B = 180° - 17° - 117°
Угол B = 46°

Теперь давайте посмотрим на биссектрису BD. Она делит угол B пополам, поэтому угол ABD равен углу CBD. Это свойство биссектрисы.

Теперь обратимся к точке K. Мы знаем, что BK равно BC. Так как BC - это сторона треугольника, а BK - продолжение стороны AB, то мы можем дать новое обозначение для продолженной стороны: AK (так как AB + BK = AK). Теперь у нас есть стороны AB, BC и AK.

Так как стороны треугольника ABC пропорциональны синусам соответствующих углов, мы можем записать пропорцию для треугольника ABC:

\(\frac{{AB}}{{\sin{\angle B}}} = \frac{{BC}}{{\sin{\angle A}}} = \frac{{AC}}{{\sin{\angle C}}}\)

Теперь давайте найдем сторону AC. Мы можем использовать закон синусов, который гласит:

\(\frac{{AC}}{{\sin{\angle C}}} = \frac{{BC}}{{\sin{\angle A}}}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{{AC}}{{\sin{117°}}} = \frac{{BC}}{{\sin{17°}}}\)

Теперь найдем сторону AC:

\(AC = \frac{{BC \cdot \sin{117°}}}{{\sin{17°}}}\)

Теперь давайте найдем угол KAD. Мы можем использовать закон синусов для треугольника ADB:

\(\frac{{AD}}{{\sin{\angle KAD}}} = \frac{{AK}}{{\sin{\angle ABD}}}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{{AD}}{{\sin{\angle KAD}}} = \frac{{AK}}{{\sin{\angle CBD}}}\)

Теперь заменим стороны AK и AC на найденные ранее значения:

\(\frac{{AD}}{{\sin{\angle KAD}}} = \frac{{\frac{{BC \cdot \sin{117°}}}{{\sin{17°}}}}}{{\sin{\angle CBD}}}\)

Угол KAD равен углу ADK, поэтому можем переписать выражение:

\(\frac{{AD}}{{\sin{\angle ADK}}} = \frac{{\frac{{BC \cdot \sin{117°}}}{{\sin{17°}}}}}{{\sin{\angle CBD}}}\)

Теперь давайте найдем угол ADK. Для этого нам нужно изолировать синус угла ADK:

\(\sin{\angle ADK} = \frac{{AD \cdot \sin{\angle CBD}}}{{\frac{{BC \cdot \sin{117°}}}{{\sin{17°}}}}}\)

Теперь найдем угол ADK, взяв арксинус от обеих сторон уравнения:

\(\angle ADK = \arcsin{\left(\frac{{AD \cdot \sin{\angle CBD}}}{{\frac{{BC \cdot \sin{117°}}}{{\sin{17°}}}}}\right)}\)

Исходя из предоставленных данных и вычислений, мы можем найти угол ADK, используя последнее выражение. Однако, для того чтобы получить конкретное численное значение угла, нам нужны значения сторон AD, BC и угла CBD, которые не предоставлены в условии задачи. Если эти значения известны, я могу продолжить и получить окончательный ответ.