В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите, что: 1) Сумма длин отрезков MB, BC и MA равна нулю. 2) Сумма длин

Чтобы доказать данные утверждения, нам понадобится использовать свойства треугольников и медианы. Давайте начнем с первого утверждения:

1) Сумма длин отрезков MB, BC и MA равна нулю:

Для начала отметим, что медиана BM делит сторону AC пополам, т.е. AM = MC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него есть две пары параллельных сторон: AB и MC, а также BM и AC. По свойству параллельных сторон мы можем утверждать, что соответствующие им отрезки равны друг другу.

Таким образом, мы можем записать следующее:

$MB=AC$ (по свойству параллельных сторон)
$BC=MA$ (по свойству параллельных сторон)
$MA=MC$ (по свойству медианы)

Теперь сложим все три равенства:

$MB+BC+MA=AC+MA+MA=AC+2MA$

Исходя из того, что AM = MC, мы можем заменить MA в уравнении на MC:

$MB+BC+MA=AC+2MA=AC+2MC$

Но по свойству медианы BM делит сторону AC пополам, поэтому AC = 2MC.

Тогда уравнение может быть переписано следующим образом:

$MB+BC+MA=AC+2MA=2MC+2MA=2(MC+MA)=2(AM+MA)=2(AM+MC)$

Так как AM = MC, мы получаем:

$MB+BC+MA=2(AM+MC)=2(AM+AM)=2(2AM)=4AM$

Но AM - это половина стороны AC, а AC - это длина всех трех сторон треугольника ABC.

Поэтому мы можем написать:

$MB+BC+MA=4\times \frac{AC}{2}=2AC$

Известно, что сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Поэтому получаем:

$MB+BC+MA=2AC=2\times \text{периметр треугольника ABC}$

Таким образом, сумма длин отрезков MB, BC и MA равна двумя раза периметру треугольника ABC, что равно нулю, так как мы не можем иметь отрицательную длину стороны.

2) Сумма длин отрезков MA, AC, MB и BA равна нулю:

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC с медианой BM. Используя те же самые свойства медианы и параллельных сторон, что были указаны в первом утверждении, мы можем записать следующее:

$MA+AC+MB+BA=MA+AC+MB+BC=2AC+2MB=2(AC+MB)$

Как уже было показано в первом утверждении, сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Следовательно, у нас есть:

$MA+AC+MB+BA=2(AC+MB)=2\times \text{периметр треугольника ABC}$

Известно, что сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Поэтому получаем:

$MA+AC+MB+BA=2AC+2MB=2\times \text{периметр треугольника ABC}$

Как и в первом случае, сумма длин отрезков MA, AC, MB и BA равна двум периметрам треугольника ABC, что равно нулю.

Таким образом, оба утверждения доказаны.