В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите, что: 1) Сумма длин отрезков MB, BC и MA равна нулю. 2) Сумма длин

Чтобы доказать данные утверждения, нам понадобится использовать свойства треугольников и медианы. Давайте начнем с первого утверждения:

1) Сумма длин отрезков MB, BC и MA равна нулю:

Для начала отметим, что медиана BM делит сторону AC пополам, т.е. AM = MC.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У него есть две пары параллельных сторон: AB и MC, а также BM и AC. По свойству параллельных сторон мы можем утверждать, что соответствующие им отрезки равны друг другу.

Таким образом, мы можем записать следующее:

\(MB = AC\) (по свойству параллельных сторон)
\(BC = MA\) (по свойству параллельных сторон)
\(MA = MC\) (по свойству медианы)

Теперь сложим все три равенства:

\(MB + BC + MA = AC + MA + MA = AC + 2MA\)

Исходя из того, что AM = MC, мы можем заменить MA в уравнении на MC:

\(MB + BC + MA = AC + 2MA = AC + 2MC\)

Но по свойству медианы BM делит сторону AC пополам, поэтому AC = 2MC.

Тогда уравнение может быть переписано следующим образом:

\(MB + BC + MA = AC + 2MA = 2MC + 2MA = 2(MC + MA) = 2(AM + MA) = 2(AM + MC)\)

Так как AM = MC, мы получаем:

\(MB + BC + MA = 2(AM + MC) = 2(AM + AM) = 2(2AM) = 4AM\)

Но AM - это половина стороны AC, а AC - это длина всех трех сторон треугольника ABC.

Поэтому мы можем написать:

\(MB + BC + MA = 4 \times \frac{AC}{2} = 2AC\)

Известно, что сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Поэтому получаем:

\(MB + BC + MA = 2AC = 2 \times \text{периметр треугольника ABC}\)

Таким образом, сумма длин отрезков MB, BC и MA равна двумя раза периметру треугольника ABC, что равно нулю, так как мы не можем иметь отрицательную длину стороны.

2) Сумма длин отрезков MA, AC, MB и BA равна нулю:

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ABC с медианой BM. Используя те же самые свойства медианы и параллельных сторон, что были указаны в первом утверждении, мы можем записать следующее:

\(MA + AC + MB + BA = MA + AC + MB + BC = 2AC + 2MB = 2(AC + MB)\)

Как уже было показано в первом утверждении, сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Следовательно, у нас есть:

\(MA + AC + MB + BA = 2(AC + MB) = 2 \times \text{периметр треугольника ABC}\)

Известно, что сумма длин сторон треугольника равна его периметру. Поэтому получаем:

\(MA + AC + MB + BA = 2AC + 2MB = 2 \times \text{периметр треугольника ABC}\)

Как и в первом случае, сумма длин отрезков MA, AC, MB и BA равна двум периметрам треугольника ABC, что равно нулю.

Таким образом, оба утверждения доказаны.