В треугольнике ABC, где AC = ВС, две стороны квадрата CKPF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина

квадрата К находится на гипотенузе треугольника ABC. Нам необходимо доказать, что треугольник CKP является равнобедренным.

Для начала, давайте построим треугольник ABC и квадрат CKPF для наглядности:

\[
\begin{array}{ccccccc}
& & & & & & C \\
& & & & & / & \; \backslash \\
& & & & / & & \; \backslash \\
& & & / & & & \; \backslash \\
& & A & & & & & B \\
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{ccc}
& & K \\
& / & \; \backslash \\
C & & & P \\
\end{array}
\]

Для доказательства, нам понадобятся следующие факты:

1. Если в треугольнике две стороны равны, то соответствующие им углы также равны.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда наибольшая сторона.
3. В квадрате все углы по 90 градусов.

Давайте докажем, что треугольник CKP является равнобедренным.

Во-первых, по условию, сторона CK квадрата лежит на катете треугольника ABC, а сторона KP - на гипотенузе треугольника ABC. Из факта 1 следует, что углы CKA и AKP равны.

Во-вторых, сторона CP также лежит на катете треугольника ABC, а сторона KP - на гипотенузе треугольника ABC. Из того же факта 1 следует, что углы CPH и KPH равны.

Теперь давайте рассмотрим треугольник CPS. Угол SCP равен 90 градусов, так как это угол внутри квадрата CKPF. Углы SCP и CPH равны (из факта 3), а углы CPH и KPH также равны (по доказанному ранее). Из этого следует, что углы SCP и KPH равны.

Таким образом, в треугольнике CKP у нас есть два равных угла - угол KPH и угол PKC. По определению равнобедренного треугольника все боковые стороны равны. В нашем случае это стороны CK и CP.

Таким образом, треугольник CKP является равнобедренным. Это доказано.