В треугольниках ABC и А’B’C стороны AB: А В = BC: B C = AC: A C = 5:3. Общая площадь треугольников равна 68

Для решения данной задачи нам понадобится использовать понятие подобия треугольников.

Если треугольники подобны, то отношение длин соответствующих сторон в них будет одинаковым. В данной задаче указано, что отношение сторон треугольников ABC и А’B’C равно 5:3. Запишем это отношение для каждой стороны:

\(\frac{AB}{A"B"} = \frac{BC}{B"C"} = \frac{AC}{A"C"} = \frac{5}{3}\)

Из этого отношения мы можем выразить соответствующие стороны треугольников ABC и А’B’C через коэффициент подобия \(k\):

\(AB = 5k\), \(BC = 5k\), \(AC = 5k\)

\(A"B" = 3k\), \(B"C" = 3k\), \(A"C" = 3k\)

Обратите внимание, что отношение сторон треугольников ABC и А’B’C также равно отношению площадей этих треугольников в квадрате:

\(\frac{S_{ABC}}{S_{A"B"C"}} = \left(\frac{AB}{A"B"}\right)^2 = \left(\frac{BC}{B"C"}\right)^2 = \left(\frac{AC}{A"C"}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2\)

Теперь у нас есть две формулы, позволяющие найти стороны и площади треугольников ABC и А’B’C. Найдем площади этих треугольников.

Общая площадь треугольников равна сумме их площадей:

\(S_{ABC} + S_{A"B"C"} = 68\) (см\(^2\))

Так как мы знаем, что отношение площадей треугольников равно \(\left(\frac{5}{3}\right)^2\), то площадь треугольника ABC будет равна:

\(S_{ABC} = \frac{\left(\frac{5}{3}\right)^2}{\left(\frac{5}{3}\right)^2+1}\times68\) (см\(^2\))

Теперь, чтобы найти площадь треугольника А’B’C, мы можем вычислить его как разность общей площади и площади треугольника ABC:

\(S_{A"B"C"} = 68 - S_{ABC}\) (см\(^2\))

Вычислим эти площади:

\[
S_{ABC} = \frac{\left(\frac{5}{3}\right)^2}{\left(\frac{5}{3}\right)^2+1}\times68 = 27.2 \text{ (см}^2)
\]

\[
S_{A"B"C"} = 68 - S_{ABC} = 40.8 \text{ (см}^2)
\]

Итак, площадь треугольника ABC равна 27.2 квадратных сантиметра, а площадь треугольника А’B’C равна 40.8 квадратных сантиметра.