В ромбе, у которого диагонали имеют отношение 4:3, прямоугольник вписан таким образом, что его вершины находятся

Для решения этой задачи мы должны найти такое отношение периметра прямоугольника к периметру ромба, при котором отношение их площадей будет наибольшим.

Для начала, давайте обозначим диагонали ромба. Пусть первая диагональ будет \(d_1\), а вторая диагональ - \(d_2\). Мы знаем, что отношение \(d_1\) к \(d_2\) равно 4:3, то есть \(\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{3}\).

Рассмотрим стороны прямоугольника вписанного в ромб. Пусть длина одной стороны прямоугольника будет \(a\), а другой - \(b\).

Согласно условию задачи, стороны прямоугольника параллельны диагоналям ромба, что означает, что \(a\) является частью диагонали \(d_1\), а \(b\) является частью диагонали \(d_2\).

Мы можем записать следующие соотношения:
\(a = \frac{4}{7} \cdot d_1\)
\(b = \frac{3}{7} \cdot d_2\)

Теперь найдем периметры ромба и прямоугольника. Периметр - это сумма длин всех сторон.

Для ромба:

Периметр ромба = 4 * длина стороны ромба = \(4 \cdot d_1\)

Для прямоугольника:

Периметр прямоугольника = 2 * (длина первой стороны + длина второй стороны) = \( 2 \cdot (a + b) \)

Подставим значения \(a\) и \(b\), которые мы нашли ранее:

Периметр прямоугольника = \( 2 \cdot \left(\frac{4}{7} \cdot d_1 + \frac{3}{7} \cdot d_2\right) \)

Мы можем заметить, что отношение площадей прямоугольника и ромба равно отношению их периметров. Поэтому, чтобы найти такое отношение, при котором отношение площадей будет наибольшим, нам нужно найти максимальное значение выражения:

\(\frac{2 \cdot \left(\frac{4}{7} \cdot d_1 + \frac{3}{7} \cdot d_2\right)}{4 \cdot d_1}\)

Раскроем скобки и упростим это выражение:

\(\frac{\frac{8}{7} \cdot d_1 + \frac{6}{7} \cdot d_2}{4 \cdot d_1}\)

Далее, сократим дроби на 2 и \(d_1\):

\(\frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{d_2}{d_1}}{2}\)

Мы знаем, что \(\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{3}\), поэтому можем заменить \(\frac{d_2}{d_1}\) на \(\frac{3}{4}\):

\(\frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{4}}{2}\)

Теперь вычислим эту дробь:

\(\frac{\frac{4}{7} + \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{4}}{2} = \frac{\frac{4}{7} + \frac{9}{28}}{2}\)

Найдем общий знаменатель и сложим числители:

\(\frac{\frac{16}{28} + \frac{9}{28}}{2} = \frac{25}{28} \)

Итак, отношение периметра прямоугольника к периметру ромба, при котором отношение их площадей будет наибольшим, равно \(\frac{25}{28}\).

Таким образом, мы получили ответ на задачу.