В прямоугольной трапеции ABCD с прямыми углами A и B и диагональю AC равной CD, значение AB составляет 8см, угол

Для решения задачи нам потребуется использовать свойства трапеции и тригонометрии. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности:

А) Чтобы найти периметр треугольника ABD, нам нужно сложить длины всех его сторон. Из условия задачи у нас уже есть длины сторон AB и AD. Однако нам необходимо найти длину стороны BD.

Для того, чтобы найти сторону BD, воспользуемся теоремой Пифагора. У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где угол BCA равен 30 градусам, значит, угол ABC равен 90 градусам (так как трапеция прямоугольная). Значит, треугольник ABD также является прямоугольным.

Применим теорему Пифагора к треугольнику ABD:
$$BD=\sqrt{A{D}^2-A{B}^2}$$
$$BD=\sqrt{{20}^2-8^2}$$
$$BD=\sqrt{400-64}$$
$$BD=\sqrt{336}$$
$$BD=4\sqrt{21}$$ см

Теперь мы знаем все стороны треугольника ABD: AB = 8 см, BD = $4\sqrt{21}$ см и AD = 20 см. Теперь сложим их, чтобы найти периметр:
$$AB+BD+AD=8+4\sqrt{21}+20=28+4\sqrt{21}$$ см

Таким образом, периметр треугольника ABD равен $28+4\sqrt{21}$ см.

Б) Чтобы найти площадь треугольника ABD, мы можем использовать формулу для вычисления площади прямоугольного треугольника:
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\times AB\times AD$$
$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\times 8\times 20$$
$$S_{ABD}=80$$ см²

Таким образом, площадь треугольника ABD равна 80 см².

В) Чтобы найти площадь трапеции ABCD, мы можем разделить трапецию на два треугольника (ABD и BCD) и прямоугольник (ACBD). Затем сложим площади этих трех фигур.

Площадь треугольника ABD равна 80 см² (поэтому мы уже знаем этот результат). Чтобы найти площадь треугольника BCD, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника:
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\times BC\times CD\times \sin (\mathrm{\angle }BCD)$$
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\times AB\times AD\times \sin ({30}^{\circ })$$
$$S_{BCD}=\frac{1}{2}\times 8\times 20\times \sin ({30}^{\circ })$$
$$S_{BCD}=80\times \sin ({30}^{\circ })$$
$$S_{BCD}=40$$ см²

Площадь прямоугольника ACBD равна произведению его сторон:
$$S_{ACBD}=AB\times CD$$
$$S_{ACBD}=8\times 20$$
$$S_{ACBD}=160$$ см²

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна сумме площадей трех фигур:
$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}+S_{ACBD}$$
$$S_{ABCD}=80+40+160$$
$$S_{ABCD}=280$$ см²

Таким образом, площадь трапеции ABCD составляет 280 см².

Надеюсь, ответы были подробными и понятными!