В Примере № 13 предположим, что шайба и клин начинают движение с состояния покоя. Отношение массы шайбы к массе клина

Для начала, давайте рассмотрим систему шайбы и клина. Поскольку они начинают движение с состояния покоя, мы можем использовать принцип сохранения энергии для рассмотрения этой задачи.

У шайбы есть кинетическая энергия (\(Т_1\)) и потенциальная энергия (\(U_1\)), а у клина — только потенциальная энергия (\(U_2\)). Выразим эти энергии через массы, расстояния и другие физические параметры.

Изначально, когда шайба и клин находятся в состоянии покоя, их потенциальная энергия равна нулю. Поэтому, можно записать:

\[U_{1i} = 0\]
\[U_{2i} = 0\]

Чтобы найти, через какой период времени шайба переместится вертикально на расстояние \(h\), нам нужно найти изменение потенциальной энергии системы. После того, как шайба переместится на расстояние \(h\), ее потенциальная энергия будет равна \(m \cdot g \cdot h\), где \(m\) — масса шайбы, \(g\) — ускорение свободного падения.

Для закона сохранения энергии, изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии. Мы можем записать следующее:

\[U_{1f} - U_{1i} = T_{1f} - T_{1i}\]
\[m \cdot g \cdot h - 0 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{1f}^2 - 0\]
\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_{1f}^2\]
\[g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v_{1f}^2\]
\[2g \cdot h = v_{1f}^2\]
\[v_{1f} = \sqrt{2g \cdot h}\]

Теперь у нас есть выражение для конечной скорости шайбы при ее перемещении на расстояние \(h\). Воспользуемся этой скоростью для решения задачи.

Из условия задачи, отношение массы шайбы к массе клина равно 0,2, то есть \(m/M = 0,2\). Мы можем использовать это условие для связи массы шайбы и клина.

Так как шайба и клин взаимодействуют друг с другом, мы можем применить закон сохранения импульса для рассмотрения этой задачи. Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до и после взаимодействия останется неизменным.

\[m \cdot v_{1i} + M \cdot v_{2i} = m \cdot v_{1f} + M \cdot v_{2f}\]

Поскольку шайба и клин начинают движение с состояния покоя, начальные скорости шайбы и клина равны нулю.

\[m \cdot 0 + M \cdot 0 = m \cdot v_{1f} + M \cdot v_{2f}\]
\[0 = m \cdot v_{1f} + M \cdot v_{2f}\]

Так как \(v_{2f}\) — это скорость клина, которую мы не знаем, оставим ее в выражении и продолжим наше решение.

Теперь, используя выражение, которое мы получили для \(v_{1f}\), мы можем записать следующее:

\[0 = m \cdot v_{1f} + M \cdot v_{2f}\]
\[0 = m \cdot \sqrt{2g \cdot h} + M \cdot v_{2f}\]

Мы также знаем, что отношение массы шайбы к массе клина равно 0,2. Мы можем записать следующее:

\[\frac{m}{M} = 0,2\]
\[m = 0,2 \cdot M\]

Теперь подставим значение \(m\) в наше уравнение:

\[0 = 0,2 \cdot M \cdot \sqrt{2g \cdot h} + M \cdot v_{2f}\]

Теперь решим это уравнение относительно \(v_{2f}\):

\[M \cdot v_{2f} = -0,2 \cdot M \cdot \sqrt{2g \cdot h}\]
\[v_{2f} = -0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h}\]

Теперь, чтобы найти период времени \(T\), нам нужно узнать, через какое время клин достигнет высоты \(h\). Мы можем использовать уравнение связи, чтобы найти его.

Связь между перемещением, скоростью и ускорением может быть выражена следующим уравнением:

\[h = v_{2i} \cdot T + \frac{a \cdot T^2}{2}\]

Так как начальная скорость клина (\(v_{2i}\)) равна нулю, уравнение упрощается:

\[h = \frac{a \cdot T^2}{2}\]

Здесь, \(a\) — это ускорение, которое можно рассчитать, используя выражение для \(v_{2f}\):

\[a = \frac{v_{2f}}{T}\]

Теперь подставим значение \(a\) в уравнение связи:

\[h = \frac{\frac{-0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h}}{T} \cdot T^2}{2}\]
\[h = \frac{-0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h} \cdot T}{2}\]

Мы можем упростить это уравнение, умножив обе стороны на 2:

\[2h = -0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h} \cdot T\]

Теперь делим обе стороны на \(-0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h}\):

\[\frac{2h}{-0,2 \cdot \sqrt{2g \cdot h}} = T\]

Теперь у нас есть выражение для периода времени \(T\). Осталось только вычислить.

Давайте подставим известные значения в это выражение:

\(h = 0,5 \, \text{м}\) (заданное расстояние)
\(g = 9,8 \, \text{м/с}^2\) (ускорение свободного падения)

\[\frac{2 \cdot 0,5}{-0,2 \cdot \sqrt{2 \cdot 9,8 \cdot 0,5}} = T\]

Теперь осталось только выполнить вычисления:

\[\frac{1}{-0,2 \cdot 3,13} = T\]
\[T \approx -1,6 \, \text{с}\]

Ответ: Через примерно 1,6 секунды шайба переместится на расстояние \(h=0,5\) м вдоль клина.

Пожалуйста, обратите внимание, что значение \(T\) было округлено до одного значащего числа после запятой. При решении задач вы всегда можете уточнять количество десятичных знаков, необходимых для ответа.