В параллелограмме ABCD, точки M, N, K, L находятся на сторонах AB, BC, CD и DA соответственно. При этом отношение AM:MB

Чтобы показать, что отрезки MK и NI делятся в тех же отношениях, воспользуемся свойствами векторов.

Параллелограмм ABCD подразумевает, что AB и CD - параллельные стороны, а значит, вектор AB равен вектору CD. Аналогично, BC и AD - параллельные стороны, значит, вектор BC равен вектору AD.

Обозначим вектор AM как \(\vec{a}\) и вектор MB как \(\vec{b}\). То есть, \(\vec{AM} = \vec{a}\) и \(\vec{MB} = \vec{b}\).

Тогда другой вектор, лежащий на прямой AB, может быть представлен как:
\(\vec{AM} + \vec{MB} = \vec{a} + \vec{b}\).

Из условия задачи мы знаем, что отношение AM:MB равно 1:3. То есть, вектор \(\vec{a}\) можно представить как \(\frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})\) и вектор \(\vec{b}\) как \(\frac{3}{4}(\vec{a} + \vec{b})\).

Аналогично, обозначим вектор BN как \(\vec{c}\) и вектор NC как \(\vec{d}\). Из условия задачи мы знаем, что отношение BN:NC равно 1:4. То есть, вектор \(\vec{c}\) можно представить как \(\frac{1}{5}(\vec{c} + \vec{d})\) и вектор \(\vec{d}\) как \(\frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d})\).

Теперь рассмотрим отрезок MK. Он может быть представлен как разность векторов MA и MK: \(\vec{MK} = \vec{MA} - \vec{AK}\).

Аналогично, отрезок NI может быть представлен как разность векторов NK и NI: \(\vec{NI} = \vec{NK} - \vec{KI}\).

Теперь применим полученную информацию и подставим значения в выражение для MK и NI.

\(\vec{MK} = \vec{MA} - \vec{AK} = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{4}(\vec{c} + \vec{d})\).

\(\vec{NI} = \vec{NK} - \vec{KI} = \frac{3}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d})\).

Теперь рассмотрим отношение этих векторов MK и NI.

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{\frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{4}(\vec{c} + \vec{d})}{\frac{3}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d})}\).

Приведем дробь к общему знаменателю:

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{\frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b}) \cdot 5 - \frac{1}{4}(\vec{c} + \vec{d}) \cdot 5}{\frac{3}{4}(\vec{a} + \vec{b}) \cdot 5 - \frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d}) \cdot 4}\).

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{\frac{5}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{5}{4}(\vec{c} + \vec{d})}{\frac{15}{4}(\vec{a} + \vec{b}) - \frac{16}{5}(\vec{c} + \vec{d})}\).

Сократим числители и знаменатели:

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - (\vec{c} + \vec{d})}{\vec{a} + \vec{b} - \frac{16}{5}(\vec{c} + \vec{d})}\).

Но мы знаем, что \(\vec{a} + \vec{b} = \frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d})\), так как отношение AM:MB равно 1:3 и BN:NC равно 1:4.

Подставим это значение:

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{\frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d}) - (\vec{c} + \vec{d})}{\frac{4}{5}(\vec{c} + \vec{d}) - \frac{16}{5}(\vec{c} + \vec{d})}\).

Упростим числители и знаменатели:

\(\frac{\vec{MK}}{\vec{NI}} = \frac{-\frac{1}{5}(\vec{c} + \vec{d})}{-\frac{12}{5}(\vec{c} + \vec{d})}\).

Отсюда видно, что отрезки MK и NI делятся в тех же отношениях, что и отрезки AM:MB и BN:NC.

Таким образом, мы использовали векторы и данную информацию о параллелограмме ABCD, чтобы показать, что отрезки MK и NI делятся в тех же отношениях, что и отрезки AM:MB и BN:NC.