В параллелепипеде, имеющем одну общую вершину, заданы три вектора a→, b→ и c→, которые не лежат в одной плоскости

Для того чтобы представить векторы B1D→, DO→ и A1C1→ в виде суммы данных векторов, рассмотрим диагонали параллелепипеда, проходящие через общую вершину.

1. Вектор B1D→ является диагональю, проходящей через вершины B1 и D. Давайте рассмотрим промежуточную вершину A1, через которую также проходит данная диагональ. Обратите внимание, что вектор B1A1→ является суммой векторов a→ и b→, так как он соединяет вершины B1 и A1. Аналогично, вектор A1D→ является суммой векторов a→ и c→, так как он соединяет вершины A1 и D. Таким образом, вектор B1D→ можно представить как сумму данных векторов:
B1D→ = B1A1→ + A1D→ = (a→ + b→) + (a→ + c→) = 2a→ + b→ + c→.

2. Вектор DO→ является диагональю, проходящей через вершины D и O. Мы можем заметить, что вектор DO→ совпадает с вектором B1D→, так как обе эти диагонали проходят через вершину D и имеют одинаковое направление и длину. Поэтому, вектор DO→ также можно представить как сумму данных векторов:
DO→ = B1D→ = 2a→ + b→ + c→.

3. Вектор A1C1→ является диагональю, проходящей через вершины A1 и C1. Для представления этого вектора в виде суммы данных векторов, воспользуемся такой же идеей, как и в предыдущих пунктах. Рассмотрим промежуточную вершину B, через которую также проходит данная диагональ. Вектор A1B→ является суммой векторов a→ и b→, поскольку он соединяет вершины A1 и B. Аналогично, вектор BC1→ является суммой векторов b→ и c→, так как он соединяет вершины B и C1. Таким образом, вектор A1C1→ можно представить как сумму данных векторов:
A1C1→ = A1B→ + BC1→ = (a→ + b→) + (b→ + c→) = a→ + 2b→ + c→.

Таким образом, мы получили следующие представления векторов в виде суммы данных векторов:
1. B1D→ = 2a→ + b→ + c→;
2. DO→ = 2a→ + b→ + c→;
3. A1C1→ = a→ + 2b→ + c→.

Надеюсь, это решение будет понятным и полезным для вас!