В компании 12 акционеров, в том числе трое владеют привилегированными акциями. На собрание акционеров пришло 6 человек

Давайте решим задачу.

а) Для определения вероятности отсутствия всех трех акционеров с привилегированными акциями среди присутствующих, нам необходимо вычислить отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Чтобы получить число благоприятных исходов, мы должны выбрать 6 акционеров из 9 не обладающих привилегированными акциями. Это можно сделать с помощью сочетания. Формула для сочетания выглядит следующим образом:

\[
C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

Где n - общее количество элементов (акционеров), k - количество элементов (акционеров), которые мы выбираем.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно:

\[
C_9^6 = \frac{{9!}}{{6! \cdot (9-6)!}} = \frac{{9!}}{{6! \cdot 3!}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{9 \cdot 8 \cdot 7}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} = 84
\]

Общее количество возможных исходов равно:

\[
C_{12}^6 = \frac{{12!}}{{6! \cdot (12-6)!}} = \frac{{12!}}{{6! \cdot 6!}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}}{{6! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = \frac{{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}}{{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 924
\]

Теперь мы можем найти вероятность события A, где А - отсутствие всех трех акционеров с привилегированными акциями среди присутствующих, используя формулу:

\[
P(A) = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}} = \frac{{84}}{{924}} = \frac{{1}}{{11}}
\]

Ответ: P(A) = \(\frac{{1}}{{11}}\)

б) Для определения вероятности присутствия двух акционеров и отсутствия одного, мы должны выбрать 2 акционера с привилегированными акциями из 3 возможных и 1 акционера не обладающего привилегированными акциями из 9 возможных. Это можно сделать с использованием сочетания.

Количество благоприятных исходов равно:

\[
C_3^2 \cdot C_9^1 = \frac{{3!}}{{2! \cdot (3-2)!}} \cdot \frac{{9!}}{{1! \cdot (9-1)!}} = 3 \cdot 9 = 27
\]

Общее количество возможных исходов остается таким же, равным 924.

Таким образом, вероятность события B, где B - присутствие двух акционеров и отсутствие одного, вычисляется следующим образом:

\[
P(B) = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество возможных исходов}}}} = \frac{{27}}{{924}} = \frac{{3}}{{112}}
\]

Ответ: P(B) = \(\frac{{3}}{{112}}\)