В каком числовом диапазоне находятся значения t, если a, b и c являются временем, затрачиваемым соответственно первой

Для начала определим время, затрачиваемое каждой трубой на заполнение бассейна отдельно. Пусть время затрачиваемое первой трубой будет \(a\) часов, второй - \(b\) часов, а третьей - \(c\) часов.

Из условия задачи известно, что при совместной работе труб бассейн заполняется за 3 часа. Это означает, что если каждая труба работает самостоятельно, то они заполнят бассейн за разные промежутки времени.

Так как при совместной работе трех труб бассейн заполняется за 3 часа, можно составить следующее уравнение:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{3}\)

Приведем это уравнение к общему знаменателю:

\(\frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{1}{3}\)

Сократим общий знаменатель:

\(\frac{bc + ac + ab}{abc} = \frac{1}{3}\)

Умножим обе части уравнения на \(3abc\) для избавления от дроби:

\(3(bc + ac + ab) = abc\)

Распределим множитель 3:

\(3bc + 3ac + 3ab = abc\)

Теперь приведем уравнение в квадратном виде:

\(abc - 3ab - 3ac - 3bc = 0\)

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся факторизацией. Сгруппируем первые два и последние два члена:

\((abc - 3ab) - (3ac + 3bc) = 0\)

Теперь вынесем общий множитель из каждой группы:

\(ab(c - 3) - 3c(a + b) = 0\)

Вынесем общий множитель за скобки:

\((c - 3)ab - 3c(a + b) = 0\)

А теперь можно снова сгруппировать:

\((c - 3)(ab - 3(a + b)) = 0\)

Таким образом, мы получили два множителя, один из которых должен быть равен нулю:

\(c - 3 = 0\) или \(ab - 3(a + b) = 0\)

Решим первое уравнение:

\(c - 3 = 0\)

Добавим 3 к обеим сторонам:

\(c = 3\)

Теперь решим второе уравнение:

\(ab - 3(a + b) = 0\)

Распределим множитель 3:

\(ab - 3a - 3b = 0\)

Если рассмотреть это уравнение как квадратное относительно переменной \(a\), то можно применить формулу дискриминанта. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = -3\), поэтому:
\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21\]

Так как дискриминант \(D\) положителен, то у уравнения есть два решения. Корни квадратного уравнения можно выразить следующим образом:
\[a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:
\[a_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{21}}{2\cdot 1} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{21}}{2\cdot 1}\]

Упростим:
\[a_1 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\]

Таким образом, мы получили три значения переменной \(a\):
\[a = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}, \quad a = \frac{3 - \sqrt{21}}{2} \quad \text{и} \quad a = 3\]

Для определения возможных значений переменных \(b\) и \(c\) воспользуемся полученными значениями для \(a\).

Когда \(a = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\), подставим это значение в уравнение \(ab - 3(a + b) = 0\) и решим его относительно \(b\):
\[\frac{3 + \sqrt{21}}{2} \cdot b - 3\left(\frac{3 + \sqrt{21}}{2} + b\right) = 0\]

Упростим:

\[\frac{3 + \sqrt{21}}{2} \cdot b - \frac{9 + 3\sqrt{21}}{2} - 3b = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[\frac{3b + \sqrt{21}b - 9 - 3\sqrt{21}}{2} - 3b = 0\]

Отсюда получим:

\[\frac{\sqrt{21}b - 9 - 3\sqrt{21}}{2} = 0\]

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[\sqrt{21}b - 9 - 3\sqrt{21} = 0\]

Перенесем все слагаемые, содержащие \(b\), на одну сторону:

\[\sqrt{21}b = 9 + 3\sqrt{21}\]

Теперь разделим обе части на \(\sqrt{21}\):

\[b = \frac{9 + 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\]

Теперь найдем значение \(c\) для данного случая. Подставим значения \(a = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\) и \(b = \frac{9 + 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\) в уравнение \(c - 3 = 0\):

\[c = 3\]

Таким образом, для \(a = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\), \(b = \frac{9 + 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\) и \(c = 3\) мы получаем одно возможное значение для времени.

Аналогично, когда \(a = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\), мы также получаем одно возможное значение для времени:

\[b = \frac{9 - 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\]
\[c = 3\]

Наконец, у нас есть третий случай, когда \(a = 3\). Подставим это значение в уравнение \(ab - 3(a + b) = 0\) и решим его относительно \(b\):

\[3b - 3(b + 3) = 0\]

Упростим:

\[3b - 3b - 9 = 0\]

Уравнение становится неопределенным, так как \(b\) может принимать произвольные значения.

Таким образом, резюмируя наши результаты, мы получаем следующие значения переменных времени:

1) \(a = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\), \(b = \frac{9 + 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\) и \(c = 3\)
2) \(a = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}\), \(b = \frac{9 - 3\sqrt{21}}{\sqrt{21}}\) и \(c = 3\)
3) \(a = 3\), где \(b\) может принимать любые значения, а \(c = 3\)