В какое наименьшее время моторная лодка пересечет реку, если ширина реки вдвое меньше расстояния между лодочными

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Пусть \(d\) - расстояние между лодочными станциями, а \(w\) - ширина реки. Из условия задачи известно, что \(w = \frac{d}{2}\).

Теперь мы можем построить модель движения лодки. Если лодка движется по течению, она преодолевает расстояние от станции до станции, равное сумме расстояния между станциями и ширины реки. Время, затрачиваемое на такое путешествие, обозначим \(t_{\text{теч}}\).

С другой стороны, если лодка движется против течения, она преодолевает расстояние от станции до станции, равное разности расстояния между станциями и ширины реки. Время, затрачиваемое на такое путешествие, обозначим \(t_{\text{прот}}\).

Мы знаем, что \(t_{\text{теч}} = 30\) минут и \(t_{\text{прот}} = 60\) минут.

Теперь можем записать формулы для времени пересечения реки:
\[t_{\text{теч}} = \frac{d + w}{v + u},\]
\[t_{\text{прот}} = \frac{d - w}{v - u},\]
где \(v\) - скорость лодки в отсутствие течения, а \(u\) - скорость течения реки.

Мы хотим найти минимальное время пересечения реки, поэтому нам нужно найти минимальное значение из двух времен \(t_{\text{теч}}\) и \(t_{\text{прот}}\).

Подставим значения \(w\) и \(u\) из условия задачи:
\[t_{\text{теч}} = \frac{d + \frac{d}{2}}{v + u},\]
\[t_{\text{прот}} = \frac{d - \frac{d}{2}}{v - u}.\]

Теперь у нас есть два уравнения вида \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), которые мы можем решить методом перекрестного умножения.

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби и записываем в числитель второй дроби произведение знаменателя первой и второй дроби:
\[(d + \frac{d}{2})(v - u) = (d - \frac{d}{2})(v + u).\]

Упростим это уравнение:
\[2d(v - u) = 2d(v + u).\]

Поделим обе части уравнения на \(2d\):
\[v - u = v + u.\]

Будем работать дальше с этим уравнением:
\[v - u = v + u.\]

Отнимем от обеих частей \(v\) и \(u\):
\[0 = 2u.\]

Таким образом, получаем, что \(u = 0\), то есть скорость течения реки равна 0.

Теперь подставим \(u = 0\) в одно из исходных уравнений времени пересечения реки, например, в \(t_{\text{теч}}\):
\[30 = \frac{d + \frac{d}{2}}{v}.\]

Умножим обе части уравнения на \(v\):
\[30v = d + \frac{d}{2}.\]

Упростим это уравнение, умножив обе части на 2:
\[60v = 2d + d.\]

Соберем подобные слагаемые:
\[60v = 3d.\]

Теперь можем найти соотношение между \(v\) и \(d\):
\[d = 20v.\]

Так как нам нужно найти минимальное время пересечения реки, мы должны выбрать наименьшее значение для \(d\), следовательно, мы должны выбрать наименьшее значение для \(v\).

Ответ: минимальное время пересечения реки будет достигаться, когда скорость течения реки \(u = 0\). Таким образом, ответ состоит в том, что моторная лодка пересечет реку в наименьшее время, равное 30 минутам.