В группе, состоящей из 10 юношей и 10 девушек, выбирают случайным образом 5 человек для выполнения дежурства на вечере

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать комбинаторику и вероятность. Пойдем пошагово.

а) Давайте сначала рассмотрим вероятность того, что в группе юношей будет выбраны все 5 для дежурства. Здесь мы должны выбрать 5 юношей из общего числа юношей (10). Это можно сделать с помощью комбинации. Формула комбинации: \({{n}\choose{k}} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n\) - количество объектов для выбора, \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем. В нашем случае, \(n = 10\) и \(k = 5\).

Вычислим значение комбинации:

\({{10}\choose{5}} = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252\)

Теперь рассмотрим общее количество способов выбрать 5 человек из общего числа людей (10 юношей + 10 девушек). Здесь мы должны выбрать 5 из 20. Опять же, используя комбинацию:

\({{20}\choose{5}} = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5!15!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15504\)

Теперь мы можем найти вероятность того, что в число дежурных войдут 5 юношей:

\(\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{252}{15504} \approx 0.0162\)

Таким образом, вероятность того, что в число дежурных войдут 5 юношей составляет примерно 0.0162.

б) Теперь рассмотрим вероятность того, что в число дежурных войдут 2 юноши и 3 девушки. Здесь мы должны выбрать 2 юношей из 10 и 3 девушек из 10. Используем комбинации:

\(\text{Количество благоприятных исходов} = {{10}\choose{2}} \cdot {{10}\choose{3}} = \frac{10!}{2!(10-2)!} \cdot \frac{10!}{3!(10-3)!} = 45 \cdot 120 = 5400\)

Теперь найдем вероятность:

\(\text{Вероятность} = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{5400}{15504} \approx 0.3488\)

Таким образом, вероятность того, что в число дежурных войдут 2 юноши и 3 девушки, составляет примерно 0.3488.