В данной стране все монеты имеют нечетное значение. Известно, что наибольшее значение монеты составляет 81

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Определим общую стоимость коллекции монет Прохора. У нас есть 41 различное значение монет, и наибольшее значение составляет 81. Поскольку все монеты имеют нечетное значение, мы можем предположить, что у каждой монеты есть нечетный вес (или стоимость). Для того чтобы найти общую стоимость коллекции, мы должны просуммировать все значения монет. Таким образом, общая стоимость коллекции будет равна \(1 + 3 + 5 + \ldots + 81\).

Шаг 2: Вычислим сумму нечетных чисел от 1 до 81. Мы можем воспользоваться формулой для суммы арифметической прогрессии:

\[
S = \frac{{n \cdot (a_1 + a_n)}}{2},
\]

где \(S\) - сумма прогрессии, \(n\) - количество элементов прогрессии, \(a_1\) - первый элемент прогрессии, \(a_n\) - последний элемент прогрессии.

В нашем случае, количество элементов прогрессии (\(n\)) будет равно 41 (поскольку у нас 41 различное значение монет). Первый элемент прогрессии (\(a_1\)) будет равен 1 (так как самое маленькое значение монеты - 1), а последний элемент прогрессии (\(a_n\)) будет равен 81.

Подставим значения в формулу:

\[
S = \frac{{41 \cdot (1 + 81)}}{2} = 41 \cdot 41 = 1681.
\]

Таким образом, общая стоимость коллекции монет Прохора равна 1681.

Шаг 3: Определим количество простых делителей числа 1681. Для этого мы можем разложить число 1681 на простые множители и посчитать количество этих множителей. Однако, так как число 1681 не очень большое, мы можем воспользоваться методом подсчета простых делителей вручную.

Чтобы найти простые делители числа 1681, мы будем проверять, делится ли 1681 на каждое простое число, начиная с 2 и заканчивая \(\sqrt{1681}\), которое примерно равно 41 (так как \(\sqrt{1681} \approx \sqrt{41^2} = 41\)). Если число делится нацело на простое число, то оно имеет простой делитель. Обратите внимание, что мы не будем проверять на делимость само число 1681, так как это тривиальный делитель.

Пройдемся по всем простым числам от 2 до 41 и проверим делится ли 1681 на каждое из них. Если делится, то это будет простым делителем числа 1681.

2 не является делителем числа 1681.
3 не является делителем числа 1681.
5 не является делителем числа 1681.
7 не является делителем числа 1681.
11 не является делителем числа 1681.
13 не является делителем числа 1681.
17 не является делителем числа 1681.
19 не является делителем числа 1681.
23 не является делителем числа 1681.
29 не является делителем числа 1681.
31 не является делителем числа 1681.
37 не является делителем числа 1681.
41 является делителем числа 1681.

Таким образом, число 1681 имеет только один простой делитель, равный 41.

Ответ: Количество простых делителей числа, равного общей стоимости коллекции монет Прохора, равно 1.